Enunciado

Calcule.

underset(x -> + oo)(lim) [2^x - 3^x]

Passo 1

Vamos fazer algumas manipulações, primeiro vamos colocar 2^x em evidência:

underset(x -> + oo)(lim) [2^x - 3^x] = underset(x -> + oo)(lim) 2^x (1 - (3^x)/(2^x))

Agora vamos usar a propriedade da multiplicação e da subtração:

underset(x -> + oo)(lim) 2^x (1 - (3^x)/(2^x)) = underset(x -> + oo)(lim) 2^x * underset(x -> + oo)(lim) 1 - (3^x)/(2^x) = underset(x -> + oo)(lim) 2^x * (underset(x -> + oo)(lim) 1 - underset(x -> + oo)(lim) (3^x)/(2^x)) = underset(x -> + oo)(lim) 2^x * (underset(x -> + oo)(lim) 1 - underset(x -> + oo)(lim) ((3)/(2))^x)

Pronto, vamos resolver os limites separadamente.

Passo 2

Para calcular o primeiro e o terceiro limite vamos usar que:

underset(x -> + oo)(lim) a^x = + oo se a > 1

Assim:

underset(x -> + oo)(lim) 2^x = + oo

underset(x -> + oo)(lim) ((3)/(2))^x = + oo

No segundo temos o limite de uma função constante, que a resposta é essa constante:

underset(x -> p)(lim) k = k

underset(x -> + oo)(lim) 1 = 1

Passo 3

Por último é só juntar os resultados e pronto:

underset(x -> + oo)(lim) 2^x * (underset(x -> + oo)(lim) 1 - underset(x -> + oo)(lim) ((3)/(2))^x) = oo * (1 - oo) = - oo

Resposta

underset(x -> + oo)(lim) [2^x - 3^x] = - oo

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