Enunciado

Calcule.

underset(x -> + oo)(lim) (1 - 2^x)/(1 - 3^x)

Passo 1

Vamos fazer algumas manipulações, primeiro vamos colocar 2^x em evidência no numerador e 3^x em evidência no denominador:

underset(x -> + oo)(lim) (1 - 2^x)/(1 - 3^x) = underset(x -> + oo)(lim) (2^x ((1)/(2^x) - 1))/(3^x ((1)/(3^x) - 1))

Podemos aqui usar a propriedade da multiplicação nesse limite:

underset(x -> + oo)(lim) (2^x ((1)/(2^x) - 1))/(3^x ((1)/(3^x) - 1)) = underset(x -> + oo)(lim) ((2^x)/(3^x)) * (((1)/(2^x) - 1))/(((1)/(3^x) - 1)) = underset(x -> + oo)(lim) ((2)/(3))^x * (((1)/(2^x) - 1))/(((1)/(3^x) - 1))

Agora a propriedade da divisão e da subtração:

underset(x -> + oo)(lim) ((2)/(3))^x * (((1)/(2^x) - 1))/(((1)/(3^x) - 1)) = underset(x -> + oo)(lim) ((2)/(3))^x * underset(x -> + oo)(lim) (((1)/(2^x) - 1))/(((1)/(3^x) - 1)) = underset(x -> + oo)(lim) ((2)/(3))^x * ((underset(x -> + oo)(lim) (1)/(2^x) - 1)/(underset(x -> + oo)(lim) (1)/(3^x) - 1)) = underset(x -> + oo)(lim) ((2)/(3))^x * ((underset(x -> + oo)(lim) (1)/(2^x) - underset(x -> + oo)(lim) 1)/(underset(x -> + oo)(lim) (1)/(3^x) - underset(x -> + oo)(lim) 1)) = underset(x -> + oo)(lim) ((2)/(3))^x * (((underset(x -> + oo)(lim) 1)/(underset(x -> + oo)(lim) 2^x) - underset(x -> + oo)(lim) 1)/((underset(x -> + oo)(lim) 1)/(underset(x -> + oo)(lim) 3^x) - underset(x -> + oo)(lim) 1))

Agora vamos resolver eles separadamente.

Passo 2

No primeiro temos que:

underset(x -> + oo)(lim) a^x = 0 se 0 < a < 1

Vamos ver isso graficamente com a expressão a^x com 0 < a < 1 :

Vemos pelo gráfico que quando x -> + oo os valores da função tendem a zero, assim:

underset(x -> + oo)(lim) ((2)/(3))^x = 0

Passo 3

Agora no numerador:

Temos o limite de uma função constante, que a resposta é essa constante:

underset(x -> p)(lim) k = k

underset(x -> + oo)(lim) 1 = 1

No outro limite vamos usar que:

underset(x -> + oo)(lim) a^x = + oo se a > 1

Assim:

underset(x -> + oo)(lim) 2^x = + oo

Passo 4

Agora no denominador:

Temos também o limite de uma função constante, que a resposta é essa constante:

underset(x -> p)(lim) k = k

underset(x -> + oo)(lim) 1 = 1

E no outro limite vamos usar que:

underset(x -> + oo)(lim) a^x = + oo se a > 1

Assim:

underset(x -> + oo)(lim) 3^x = + oo

Passo 5

Por último é só juntar os resultados e pronto:

underset(x -> + oo)(lim) (1 - 2^x)/(1 - 3^x) = underset(x -> + oo)(lim) ((2)/(3))^x * (((underset(x -> + oo)(lim) 1)/(underset(x -> + oo)(lim) 2^x) - underset(x -> + oo)(lim) 1)/((underset(x -> + oo)(lim) 1)/(underset(x -> + oo)(lim) 3^x) - underset(x -> + oo)(lim) 1)) = 0 * (((1)/(oo) - 1)/((1)/(oo) - 1)) = 0 * ((0 - 1)/(0 - 1)) = 0 * 1 = 0

Lembre que (1)/(oo) tende a zero, pois quanto maior o valor do denominador, mais próximo de zero (1)/(oo) vai está.

Resposta

underset(x -> + oo)(lim) (1 - 2^x)/(1 - 3^x) = 0

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