52- Prove que lim x → c ⁡ f x = L se, e somente se, lim h → 0 ⁡ f h + c = L

Passo 1

Matematicamente a questão nos dá essa afirmativa:

lim x → c ⁡ f x = L ↔ lim h → 0 ⁡ f h + c = L

Então precisamos mostrar da esquerda para direita e da direita para a esquerda.

Passo 2

Para o limite da esquerda temos:

x 0 = c ,     f x ,       L

Então temos:

f x - c < ϵ

O que temos:

- ϵ < f x - L < ϵ

- ϵ + L < f x < ϵ + L

Encontrando δ :

x - c < δ

- δ < x - c < δ

Para x ≠ c

Passo 3

Agora para os limites da direita:

f h + c - L < ϵ

- ϵ < f h + c - L < ϵ

L - ϵ < f h + c < L + ϵ

Agora calculando para δ :

x - 0 < δ

- δ < x < δ    

Passo 4

comparando os resultados dos dois temos

- ϵ + L < f x < ϵ + L L - ϵ < f h + c < L + ϵ

E

- δ < x - c < δ - δ < x < δ    

Na derivada da direita podemos dizer que:

x = h + c

Se substituir vemos que as duas primeiras equações se complementam

Então escrevemos

Então 0 < x - c < δ   ↔   - δ < x - c < ,   x   ≠ c   ↔   - δ < h + c - c < δ ,   h + c   ≠ c ↔ - δ < h < δ ,   h ≠ 0   ↔ h - 0 < δ   . Logo, lim x → c ⁡ f x = L   ↔ p a r a   t o d o   ϵ > 0 ,   e x i s t e   u m   δ > 0   t a l   q u e   f x - L < ϵ   s e m p r e   q u e     0 < h - 0 < δ   ↔ lim h → 0 ⁡ h + c = L

O que é rebuscado mas é uma maneira de dizer, que as duas funções tem o mesmo limite para a mesma função, porém com as condições de h e c necessárias para com que as duas funções se complementem.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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