Enunciado

Calcule.

underset(x -> + oo)(lim) ln (x)/(x + 1)

Passo 1

Fala aí pessoal, belezinha?

Para resolver esse limite, nós podemos jogar o limite lá pra entro do ln , aplicando a seguinte propriedade,

underset(x -> + oo)(lim) ln (x)/(x + 1) = ln (underset(x -> + oo)(lim) (x)/(x + 1))

Dessa forma, primeiro a gente se preocupa em calcular o limete só para (x)/(x + 1) , e depois que já tivermos o resultado, nós aplcamos o ln a ele.

Então vamos resolver esse limite!

Passo 2

Ao tentar resolver underset(x -> + oo)(lim) (x)/(x + 1) apliando diretamente o limite na função, teremos um problema pois ficaremos com

underset(x -> + oo)(lim) (x)/(x + 1) = (oo)/(oo + 1)

O que nos dá

(oo)/(oo)

E isso é uma indeterminação. Sendo assim, vamos procurar outro jeito para resolver. Tetaremos mexer um pouco na função (x)/(x + 1) para que ao aplicar o limite, ele não gere novamente uma indeterminação.

Passo 3

Então, vamos dividir todos os termos por x , em cima e embaixo, ficando assim,

underset(x -> + oo)(lim) (x)/(x + 1) = underset(x -> + oo)(lim) ((x)/(x))/((x)/(x) + (1)/(x))

Simplificando, cada fração, teremos:

underset(x -> + oo)(lim) (1)/(1 + (1)/(x))

Beleza, já mudou bastante a carinha do limite. Agora vamos tentar aplicar novamente o limite e ver o que dá.

Fazendo o x -> + oo nessa nova forma do limite, ficamos com:

underset(x -> + oo)(lim) (1)/(1 + (1)/(x)) = (1)/(1 + (1)/(oo))

E você se lembra que quando fazemos 1 // oo isso vai a zero? Pois é, assim ficaremos com

(1)/(1 + 0) = (1)/(1) = 1

Show, voltando pra forma original do nosso limite, podemos já dizer que

underset(x -> + oo)(lim) (x)/(x + 1) = 1

Beleza, agora a gente encaixa esse resultado lá dentro do ln

Passo 4

Logo,

underset(x -> + oo)(lim) ln (x)/(x + 1) = ln (underset(x -> + oo)(lim) (x)/(x + 1))

E vimos que o limite é 1. Assim, ficamos com

ln 1

E

ln 1 = 0

Chagando na nossa resposta!!!

Show! :D

Resposta

underset(x -> + oo)(lim) ln (x)/(x + 1) = 0

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