Calcule.

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x + 1

Passo 1

Fala aí pessoal, belezinha?

Para resolver esse limite, nós podemos jogar o limite lá pra entro do ln ⁡ , aplicando a seguinte propriedade,

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x + 1 = ln ⁡ lim x → + ∞ ⁡ x x + 1

Dessa forma, primeiro a gente se preocupa em calcular o limete só para x x + 1 , e depois que já tivermos o resultado, nós aplcamos o ln ⁡ a ele.

Então vamos resolver esse limite!

Passo 2

Ao tentar resolver lim x → + ∞ ⁡ x x + 1 apliando diretamente o limite na função, teremos um problema pois ficaremos com

lim x → + ∞ ⁡ x x + 1 = ∞ ∞ + 1

O que nos dá

∞ ∞

E isso é uma indeterminação. Sendo assim, vamos procurar outro jeito para resolver. Tetaremos mexer um pouco na função x x + 1 para que ao aplicar o limite, ele não gere novamente uma indeterminação.

Passo 3

Então, vamos dividir todos os termos por x , em cima e embaixo, ficando assim,

lim x → + ∞ ⁡ x x + 1 = lim x → + ∞ ⁡ x x x x + 1 x

Simplificando, cada fração, teremos:

lim x → + ∞ ⁡ 1 1 + 1 x

Beleza, já mudou bastante a carinha do limite. Agora vamos tentar aplicar novamente o limite e ver o que dá.

Fazendo o x → + ∞ nessa nova forma do limite, ficamos com:

lim x → + ∞ ⁡ 1 1 + 1 x = 1 1 + 1 ∞

E você se lembra que quando fazemos 1 / ∞ isso vai a zero? Pois é, assim ficaremos com

1 1 + 0 = 1 1 = 1

Show, voltando pra forma original do nosso limite, podemos já dizer que

lim x → + ∞ ⁡ x x + 1 = 1

Beleza, agora a gente encaixa esse resultado lá dentro do ln ⁡

Passo 4

Logo,

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x + 1 = ln ⁡ lim x → + ∞ ⁡ x x + 1

E vimos que o limite é 1. Assim, ficamos com

ln ⁡ 1

E

ln ⁡ 1 = 0

Chagando na nossa resposta!!!

Show! :D

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x + 1 = 0

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