Calcule.

lim x → p ⁡ sen ⁡ x 2 - p 2 x - p

Passo 1

Para resolver essa questão vamos utilizar o Limite Fundamental Trigonométrico! Para quem lembra temos que,

lim h → 0 ⁡ sen ⁡ h h = 1

Repara que o argumento do seno é igual ao nosso denominador. Mas na função dada eles são diferentes:

lim x → p ⁡ sen ⁡ x 2 - p 2 x - p

O nosso argumento é x 2 - p 2 e o denominador é x - p . Além disso, o nosso limite tem que tender a zero. Então agora vamos ter que manipular um pouco a nossa função para aplicar o Limite Fundamental Trigonométrico.

Passo 2

Podemos multiplicar em cima e embaixo por x + p , para obter:

lim x → p ⁡ sen ⁡ x 2 - p 2 x - p =   lim x → p ⁡ sen ⁡ x 2 - p 2 x + p x - p x + p = lim x → p ⁡ sen ⁡ x 2 - p 2 x + p x 2 - p 2

Separando no produto, temos:

lim x → p ⁡ sen ⁡ x 2 - p 2 x + p x 2 - p 2 = lim x → p ⁡ sen ⁡ x 2 - p 2 x 2 - p 2 × lim x → p ⁡ x + p

Vamos resolver cada limite em separado!

Passo 3

Para

lim x → p ⁡ sen ⁡ x 2 - p 2 x 2 - p 2

podemos aplicar uma mudança de variáveis. Fazendo,

h = x 2 - p 2

Vamos ter h → 0 , quando x → p . Substituindo:

lim x → p ⁡ sen ⁡ x 2 - p 2 x 2 - p 2 = lim h → 0 ⁡ sen ⁡ h h = 1

Agora vamos para o próximo limite!

Passo 4

Para lim x → p ⁡ x + p , basta substituir p :

lim x → p ⁡ x + p = p + p = 2 p

Agora vamos juntar tudo!

Passo 5

Ficamos com,

lim x → p ⁡ sen ⁡ x 2 - p 2 x - p = lim x → p ⁡ sen ⁡ x 2 - p 2 x 2 - p 2 × lim x → p ⁡ x + p = 1 × 2 p = 2 p

Logo,

lim x → p ⁡ sen ⁡ x 2 - p 2 x - p = 2 p

Resposta

lim x → p ⁡ sen ⁡ x 2 - p 2 x - p = 2 p

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