Enunciado

Calcule.

underset(x -> 0)(lim) (tg x)/(x)

Passo 1

Fala, galera! Tudo bem? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função f (x) = (tg x)/(x) quando x se aproxima de zero.

Pra isso, vamos usar a definição da função tangente, que dada por:

tg x = (sen x)/(cos x)

E então, podemos reescrever nosso limite como:

underset(x -> 0)(lim) (tg x)/(x) = underset(x -> 0)(lim) (sen x)/(x cos x)

A partir disso, vamos fatorar a nossa expressão e usar o limite fundamental, que é dado por:

underset(x -> 0)(lim) (sen x)/(x) = 1

Vamos lá!

Passo 2

Como o limite do produto é o produto dos limites, temos:

underset(x -> 0)(lim) (sen x)/(x cos x) = underset(x -> 0)(lim) (sen x)/(x) * underset(x -> 0)(lim) (1)/(cos x)

E pelo limite fundamental, sabemos que underset(x -> 0)(lim) (sen x)/(x) = 1 . Para underset(x -> 0)(lim) (1)/(cos x) , não temos nenhuma restrição, então podemos apenas substituir o valor do limite. Assim, temos:

= 1 * ((1)/(1))

= 1

Portanto,

underset(x -> 0)(lim) (tg x)/(x) = 1

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (tg x)/(x) = 1

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