Enunciado

Use um gráfico da sequência para decidir se a sequência é convergente ou divergente. Se a sequência for convergente, estime o valor do limite a partir do gráfico e então prove sua estimativa. (Veja a margem esquerda na página 704   com sugestões para gráficos de sequências).

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a n = - 1 n n + 1 n

Passo 1

Vamos entender o que a questão pede: o gráfico da sequência vai nos mostrar o comportamento de seus valores ao longo dos termos da sequência. Precisamos então plotar esse gráfico e analisar se a sequência se aproxima de algum valor conforme os valores de n   vão crescendo.

Caso haja a convergência da sequência, podemos provar nossa estimativa calculando lim n → ∞ ⁡ a n .

Passo 2

Agora precisamos de fato plotar o gráfico e para isso podemos recorrer ao software GeoGebra.

Nesse software utilizamos a função “sequência”, com n variando entre 1 e 100. Os 100 primeiros são suficientes para notarmos o padrão que a sequência vai seguir.

O gráfico plotado pelo software é:

Onde à medida que vamos aumentando o valor de n , o gráfico fica oscilando entre 1 e - 1 e por isso dizemos que a sequência diverge. Isso pode soar estranho pois a divergência na nossa cabeça parece que só ocorre quando a sequência tende a um valor infinito, mas nem sempre é assim. A oscilação entre dois valores também é uma divergência.

Essa oscilação pode ser notada mesmo se não tivéssemos o gráfico, pelo termo - 1 n presente na nossa sequência. Quando n   é ímpar, esse termo fica negativo e quando n   é par esse termo fica positivo. Dessa forma ele vai sempre alternando o sinal da nossa expressão.

a n = - 1 n . n + 1 n

Resposta

A sequência é divergente.

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