Enunciado

Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.

15-

a n = n ( n - 1 )

Passo 1

Vamos lá! Primeiro ponto aqui é observar que, para na sequência dada no enunciado

a n = n ( n - 1 )

Podemos realizar a operação de distribuição. Assim teremos,

a n = n 2 - n

Ou seja,

a n = n ( n - 1 ) =   n 2 - n

Beleza?

Passo 2

Agora vamos tentar entender o comportamento dessa sequência conforme ela cresce,

Para n = 1

n 2 - n =   1 2 - 1 = 0

Para n = 2

n 2 - n =   2 2 - 2 = 2

Para n = 3

n 2 - n =   3 2 - 3 = 6

Para n = 10

n 2 - n =   10 2 - 10 = 90

Ou seja, se observarmos n 2 - n quando n é muito grande, a influência do termo - n torna-se insignificante em comparação com n 2 .

Então, basicamente, a sequência se comporta como n 2 quando n é grande.

Passo 3

Então, se aplicarmos o limite para n → ∞ encontramos:

lim n → ∞ ⁡ a n = ∞

Uma vez que n 2 cresce muito mais rápido que n , logo essa sequência diverge.

Resposta

A sequência diverge e o lim n → ∞ ⁡ a n = ∞

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Teoria e exemplos: Prove que underset(n - oo)(l i m) x^(1 // n) = 1 , ( x0 ) .
Convergência e divergência: Quais das sequências { a n } nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.74. a n = ( 10 / 11 ) n ( 9 / 10 ) n+( 11 / 1
Convergência e divergência: Quais das sequências { a n } nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.79. a n = n ⋅ s e n 1 n
Sequências definidas recursivamente: Nos Exercícios 91-98, assuma que cada sequência convirja e encontre o limite.91. a 1 = 2 ,a n + 1 = 72 1+a n
Teoria e exemplos: O primeiro termo de uma sequência é x 1 = 1 . Cada um dos termos seguintes é a soma de todos os seus antecedentes: x n + 1 = x 1+x 2+ ⋯ + x n . Escreva os primeiros termos da sequên