Enunciado

Calcule.

underset(x -> + oo)(lim) root(3)(5 + (2)/(x))

Passo 1

Vamos analisar esse limite, geralmente devemos fazer manipulações para ficar com expressões do tipo (1)/(x^n) que tendem a zero para x -> - oo , pois assim fica simples de resolver o limite.

Temos que podemos de cara usar a propriedade da raíz nesse limite:

underset(x -> p)(lim) root(n)(f (x)) = root(n)(underset(x -> p)(lim) f (x)) = root(n)(L) , desde que L > 0 se n for par

Aplicando:

underset(x -> + oo)(lim) root(3)(5 + (2)/(x)) = root(3)(underset(x -> + oo)(lim) 5 + (2)/(x))

Vamos usar agora a propriedade da soma:

root(3)(underset(x -> + oo)(lim) 5 + (2)/(x)) = root(3)(underset(x -> + oo)(lim) 5 + underset(x -> + oo)(lim) (2)/(x))

Pronto, vamos então resolver os limites dentro da raíz.

Passo 2

No primeiro temos o limite de uma função constante, que a resposta é essa constante:

underset(x -> p)(lim) k = k

underset(x -> + oo)(lim) 5 = 5

No segundo podemos usar a propriedade da constante vezes a função, onde a constante pode sair para fora do limite e vamos ficar com (1)/(x) que também tende a zero para x -> + oo :

underset(x -> p)(lim) k f (x) = k (underset(x -> p)(lim) f (x))

underset(x -> + oo)(lim) (2)/(x) = 2 * underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x) = 2 * 0 = 0

Passo 3

Por último é só juntar os resultados e pronto:

underset(x -> + oo)(lim) root(3)(5 + (2)/(x)) = root(3)(underset(x -> + oo)(lim) 5 + underset(x -> + oo)(lim) (2)/(x)) = root(3)(5 + 0) = root(3)(5)

Resposta

underset(x -> + oo)(lim) root(3)(5 + (2)/(x)) = root(3)(5)

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