Enunciado

Calcule

underset(x -> 1)(lim) (root(3)(3 x + 5) - 2)/(x^2 - 1)

Passo 1

Fala, galera! Tudo bem? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função f (x) = (root(3)(3 x + 5) - 2)/(x^2 - 1) quando x se aproxima de 1 .

Repare que substituindo x = 1 na função, temos uma indeterminação do tipo (0)/(0) . Então, pra fugir dessa indeterminação, vamos tentar manipular a nossa expressão para simplificar o resultado e conseguir aplicar o valor do limite.

Vamos lá!

Passo 2

Se supormos que existam funções g (u) e u = f (x) , onde g ou é contínua em a ou não está definida em a , tais que:

F (x) = g (u)

onde u = f (x) , x in D_f , underset(x -> p)(lim) f (x) = a ( u -> a para x -> p ). E que underset(u -> a)(lim) g (u) exista. Então:

underset(x -> p)(lim) F (x) = underset(u -> a)(lim) g (u)

Vamos então achar essas funções.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição, vamos fazer que:

root(3)(3 x + 5) = root(3)(u)

onde u = 3 x + 5 -> x = (u - 5)/(3) . Vamos então definir esse novo limite:

(root(3)(3 x + 5) - 2)/(x^2 - 1) = (root(3)(u) - 2)/(((u - 5)/(3))^2 - 1)

Expandindo o produto notável no denominador:

= (root(3)(u) - 2)/((u^2 - 10 u + 25)/(9) - 1)

= (root(3)(u) - 2)/((u^2 - 10 u + 16)/(9))

Fazendo a divisão de frações:

= (root(3)(u) - 2) * ((9)/(u^2 - 10 u + 16))

= (9 (root(3)(u) - 2))/(u^2 - 10 u + 16)

Além disso, quando x -> 1 , temos u -> 8 . Então, nosso limite fica:

underset(x -> 1)(lim) (root(3)(3 x + 5) - 2)/(x^2 - 1)

= underset(u -> 8)(lim) (9 (root(3)(u) - 2))/(u^2 - 10 u + 16)

Passo 4

Vamos calcular então:

underset(u -> 8)(lim) (9 (root(3)(u) - 2))/(u^2 - 10 u + 16) = 9 (underset(u -> 8)(lim) (root(3)(u) - 2)/(u^2 - 10 u + 16))

Vamos tentar multiplicar tanto o numerador quanto o denominador pela expressão de (root(3)(u) - 2)^2 = (u^((2)/(3)) + 2 root(3)(u) + 4) :

underset(u -> 8)(lim) (root(3)(u) - 2)/(u^2 - 10 u + 16) = underset(u -> 8)(lim) ((root(3)(u) - 2)/(u^2 - 10 u + 16)) * ((u^((2)/(3)) + 2 root(3)(u) + 4)/(u^((2)/(3)) + 2 root(3)(u) + 4))

Agora aplicando a distributiva no produto:

= underset(u -> 8)(lim) (root(3)(u^3) + 2 root(3)(u^2) + 4 root(3)(u) - 2 u^((2)/(3)) - 4 root(3)(u) - 8)/((x - 2) (x - 8) (u^((2)/(3)) + 2 root(3)(u) + 4))

E simplificando, temos:

= underset(u -> 8)(lim) (u - 8)/((u - 2) (u - 8) (u^((2)/(3)) + 2 root(3)(u) + 4))

= underset(u -> 8)(lim) (1)/((u - 2) (u^((2)/(3)) + 2 root(3)(u) + 4))

Passo 5

Agora é só necessário substituir o valor 8 na expressão e pronto:

= (1)/((8 - 2) (8^((2)/(3)) + 2 root(3)(8) + 4))

= (1)/(6 (4 + 2 * 2 + 4))

= (1)/(6 * 12) = (1)/(72)

E por fim temos que:

underset(u -> 8)(lim) (9 (root(3)(u) - 2))/(u^2 - 10 u + 16) = 9 (underset(u -> 8)(lim) (root(3)(u) - 2)/(u^2 - 10 u + 16))

= 9 * (1)/(72) = (1)/(8)

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

underset(x -> 1)(lim) (root(3)(3 x + 5) - 2)/(x^2 - 1) = (1)/(8)

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