Enunciado

Calcule o limite, se existir.

23) x + 2 - 3 x - 7  

Passo 1

Fala aí, pessoal. Tudo belezinha?

Bom, essa questão é bem direta. Ela pede pra gente calcular o limite da função

x + 2 - 3 x - 7

Quando x tende a 7 . Ou seja

x + 2 - 3 x - 7  

Para isso, a primeira coisa que temos que fazer é substituir o x por 7 na função e ver se é possível terminar o cálculo do limite. Se, por acaso, cairmos em alguma indeterminação matemática, teremos que modificar um pouco a função para conseguir calcular.

Vem comigo que te ajudo com isso no passo a passo.

Passo 2

Começamos calculando o limite

x + 2 - 3 x - 7  

Substituindo, teremos:

= 7 + 2 - 3 7 - 7

= 9 - 3 7 - 7

= 3 - 3 7 - 7

= 0 0

Opa! Caímos mesmo em uma indeterminação do tipo 0 0 . Vamos tentar modificar um pouco essa função para tentar recalcular.

Passo 3

Uma ferramenta que ajuda muito a gente são os produtos notáveis. Um deles é a diferença de quadrados, do tipo:

a 2 - b 2

Que é resultado do produto da soma pela diferença de dois termos. Assim:

a + b a - b = a 2 - b 2

Então, vamos adaptar um pouquinho nossa função, fazendo a multiplicação do numerador e do denominador por algo que a torne esse produto notável aí.

E para isso, basta multiplicarmos numerador e denominador por x + 2 + 3 . Isso nos dará um produto notável e não vai alterar a função, já que faremos a multiplicação em cima e embaixo.

Assim:

x + 2 - 3 x - 7 ⋅ x + 2 + 3 x + 2 + 3

E resolvendo, teremos:

x + 2 2 - 3 2 x - 7 x + 2 + 3

x + 2 - 9 x - 7 x + 2 + 3

x - 7 x - 7 x + 2 + 3

E simplificando, ficamos com:

1 x + 2 + 3

E o limite se torna

= 1 x + 2 + 3  

Agora vamos tentar recalcular o limite e ver se dará certo.

Passo 4

Nosso limite se transformou em

1 x + 2 + 3  

Então basta substituir x por 7 na função e ver se o limite chegará a um resultado coerente.

Assim:

1 x + 2 + 3   = 1 7 + 2 + 3

1 9 + 3 = 1 3 + 3 = 1 6

Prontinho! Limite calculado.

Resposta

x + 2 - 3 x - 7   = 1 6

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