Enunciado

Veja a figura e encontre o volume gerado pela rotação da região ao redor da reta dada.

R 1   e m   t o r n o   d e   B C

Passo 1

Bom galera, nessa questão queremos encontrar o volume do sólido gerado ao rotacionar a função apresentada em torno do eixo especificado.

Para isso, utilizaremos o conceito de Volume de Sólidos de revolução e as técnicas de integração para calcular o valor desse volume.

Pelo método do disco/arruela, integramos ao longo do eixo paralelo ao eixo de rotação.

Rotacionando ( y = x 3 ) em torno de ( y   =   B C ) , o eixo de rotação é ( x   =   1 ) . O raio externo é então

( r 1 = 1 ) (a distância de ( x   =   0 ) até o eixo de rotação ( x   =   1 ) )

O raio interno é

( r 2 = 1 - x 3 ) (a distância de ( y = x 3 ) até o eixo de rotação ( x   =   1 ) )

Passo 2

Podemos escrever a seguinte integral com base em R 1   e m   t o r n o   d e   B C

V = ∫ 0 1 π 1 2 - 1 - x 3 2 d x

Resolvendo a integral, temos

V = ∫ 0 1 π 2 x 3 - x 6 d x

= π 1 2 x 4 - x 7 7 0 1

= 5 π 14

Resposta

V = 5 π 14

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2.Calcule o volume do sólido cuja base é o semicírculo 4 x 2 + y 2 ≤ 1 , y ≥ 0 , e cujas seções perpendiculares ao eixo x são semicírculos:
Ache o comprimento do arco da curva y = ln ⁡ c o s s e cxd ex = π 6 ax = π 2 .
Prove que lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x = 0 por dois métodos. (a) Seja x = 1 t e use o resultado do E xercício 55 nos Exercícios 7.3.(b) Primeiro prove que ∫ 1 x 1 t d t ≥ ∫ 1 x 1 t d t aplicando o teorema 5
y = x 2 x 2 + 4
y = 2 x - 3