Enunciado

Calcule o limite, se existir.

l i m h → 0   2 + h 3 - 8 h

Passo 1

Fala aí! Queremos resolver o seguinte limite:

l i m h → 0   2 + h 3 - 8 h

Inicialmente, a gente pode pensar em calcular esse limite apenas substituindo o valor 0 , né?

Então vamos fazer isso, não custa nada tentar:

l i m h → 0   2 + h 3 - 8 h = 2 + 0 3 - 8 0

l i m h → 0   2 + h 3 - 8 h = 0 0

Ops! chegamos em uma indeterminação! Calma que isso não significa que o limite não existe, tá?

Vamos precisar fazer algumas manipulações para tirar essa indeterminação daí, beleza?

Bom, vemos que esse h do denominador está atrapalhando a gente, né? Porque sempre que substituir ele por 0 vamos ter o que não queremos… Mas como nos livrar dele?

Huummm... repara que no numerador a gente tem uma expressão elevada a terceira potência. Então podemos essa fórmula aqui para simplificar:

a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b ³

Bora lá.

Passo 2

Abrindo a expressão cúbica ficamos com:

2 + h 3 = 2 3 + 3 . 2 2 . h + 3.2 . h 2 + h 3

2 + h 3 = h 3 + 6 h 2 + 12 h + 8

Agora vamos substituir na expressão original:

l i m h → 0   2 + h 3 - 8 h = l i m h → 0   h 3 + 6 h 2 + 12 h + 8 - 8 h

l i m h → 0 h 3 + 6 h 2 + 12 h h  

Agora e se a gente dividir tudo por h ? Resolveria nosso problema? Talvez! Então vamos tentar:

Passo 3

Simplificando nosso limite:

l i m h → 0   h 3 + 6 h 2 + 12 h / h h / h  

l i m h → 0   h 2 + 6 h + 12 1  

l i m h → 0   h 2 + 6 h + 12  

Opa! Parece que melhorou, né? Agora vamos substituir o valor de h , teremos:

l i m h → 0   h 2 + 6 h + 12   = 0 2 + 6   .   0 + 12  

l i m h → 0   h 2 + 6 h + 12   = 12

Uhull! Encontramos nosso limite! Arrasamos!

Resposta

l i m h → 0   2 + h 3 - 8 h = l i m h → 0   h 2 + 6 h + 12 = 12

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