Enunciado

Calcule o limite, se ele existir.

underset(t -> 0)(lim) ((1)/(t sqrt(1 + t)) - (1)/(t))

Passo 1

Iremos analisar o seguinte limite:

underset(t -> 0)(lim) ((1)/(t sqrt(1 + t)) - (1)/(t))

Infelizmente não podemos substituir t = 0 pois teremos divisão por zero. Devemos então retirar essa indeterminação.

Passo 2

Começaremos o exercício tirando o mínimo múltiplo comum da expressão dentro do limite, sendo assim:

underset(t -> 0)(lim) (1 - sqrt(1 + t))/(t sqrt(1 + t))

Agora iremos multiplicar o limite pelo “conjugado” do numerador, com isso, temos:

underset(t -> 0)(lim) (1 - sqrt(1 + t))/(t sqrt(1 + t)) . ((1 + sqrt(1 + t))/(1 + sqrt(1 + t)))

= underset(t -> 0)(lim) ((1)^2 - (sqrt(1 + t))^2)/(t sqrt(1 + t) (1 + sqrt(1 + t)))

= underset(t -> 0)(lim) (- t)/(t sqrt(1 + t) (1 + sqrt(1 + t)))

Agora simplificando o termo t que aparece no numerador e no denominador, obtemos:

underset(t -> 0)(lim) (- 1)/(sqrt(1 + t) (1 + sqrt(1 + t)))

Passo 3

Agora iremos substituir os valores para t , obtendo:

(- 1)/(sqrt(1 + 0) (1 + sqrt(1 + 0))) = - (1)/(2)

Resposta

underset(t -> 0)(lim) ((1)/(t sqrt(1 + t)) - (1)/(t)) = - (1)/(2)

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