Enunciado

19. Calcule o limite, se existir.

underset(x -> 3)(lim) (x - 3)/(x^3 - 27)

Passo 1

Olá, meu querido. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Veja que se a gente for calcular esse limite de forma direta, vemos que apenas substituindo o valor - 2 na expressão não é uma boa tentativa, ao fazer isso, ficamos com

underset(x -> 3)(lim) (x - 3)/(x^3 - 27) = (3 - 3)/(3^3 - 27) = (0)/(0)

Calma lá meu patrão porque isso ai é uma inderteminação, e pra gente poder tirar essa inderteminação de forma sagaz, podemos fatorar nossos polinômios! Bora lá então.

Passo 2

Se liga só, no denominador temos um polinômio do terceiro grau, da seguinte forma a^3 - b ³ , então aqui iremos utilizar essa fatoração que é tabelada e dada por:

a^3 - b^3 = ( a^2 + a . b + b^2 ) ( a - b )

Nosso polinômio é:

x^3 - 27 = x^3 - 3 ³

Assim temos que a = x e b = 3 :

x^3 - 3^3 = (x^2 + x . 3 + 3^2) (x - 3) = ( x^2 + 3 x + 9 ) ( x - 3 )

E nosso limite então fica assim:

underset(x -> 3)(lim) (x - 3)/(( x^2 + 3 x + 9 ) ( x - 3 ))

Ta começando a ficar bonito heim!

Passo 3

Agora temos o limite da seguinte forma:

underset(x -> 3)(lim) (x - 3)/(x^3 - 27) = underset(x -> 3)(lim) (x - 3)/(( x^2 + 3 x + 9 ) ( x - 3 ))

E agora que juntamos as 6 jóias da inderteminação, podemos eliminar 50% dessa equação, cortando em cima e embaixo. Saca só:

underset(x -> 3)(lim) (( x - 3 ))/(( x^2 + 3 x + 9 ) ( x - 3 ))

underset(x -> 3)(lim) (1)/(( x^2 + 3 x + 9 ))

Passo 4

Agora que ficou uma maravilha, é só a gente substituir o valor no limite que tá show de bolinhas:

underset(x -> 3)(lim) (1)/(( x^2 + 3 x + 9 )) = (1)/(( 3^2 + 3 ( 3 ) + 9 )) = (1)/(27)

Agora sim a gente pode falar que ficou irado!!

Resposta

underset(x -> 3)(lim) (x - 3)/(x^3 - 27) = (1)/(27)

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Verifique, usando argumento geométricos, que a maior escolha possível para o δ para que se possa mostrar que lim x → 3 ⁡ x 2 = 9 é δ = 9 + ϵ - 3 .