Enunciado

Calcule o limite, se existir.

underset(x -> 2)(lim) (x^2 + x - 6)/(x - 2)

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei ajudando você a resolver essa atividade.

Aqui basicamente devemos resolver o limite dado.

Podemos pensar em calcular esse limite apenas substituindo o valor 2 na expressão, entretando, ao fazer isso, ficamos com a inderterminação

(0)/(0)

É preciso então fazer manipulações para tirar essa indeterminação, vamo analisar um pouco e descobrir o que fazer, calma que vai da certo!

Passo 2

Vamos lá, vamos analisar o limite:

underset(x -> 2)(lim) (x^2 + x - 6)/(x - 2)

Olhando cuidadosamente podemos fatorar a expressão do numerador, e um dos métodos é usando a fórmula de Bhaskara para acharmos as raizes:

x^2 + x - 6

x = (- b +- sqrt(- 4 . a . c + b ²))/(2 . a)

Temos que a = 1 , b = 1 e c = - 6 .

Substituindo obtemos:

x = (- 1 +- 5)/(2)

Assim, as raízes são:

x = 2

e

x = - 3

Então, obtemos:

underset(x -> 2)(lim) (x^2 + x - 6)/(x - 2) = underset(x -> 2)(lim) (( x + 3 ) ( x - 2 ))/(x - 2)

Agora sim, bem mais simples!

Passo 3

Agora vamos analisar o limite que simplificamos:

underset(x -> 2)(lim) (( x + 3 ) ( x - 2 ))/(x - 2)

Podemos ver que a expressão x - 2 aparece tanto no numerador quanto no denominador. Podemos então simplificar a expressão inteira, já que quando x -> 2 , sempre vamos ter x != 2

underset(x -> 2)(lim) (( x + 3 ) ( x - 2 ))/(x - 2) = underset(x -> 2)(lim) x + 3

Agora é só substituir o valor 2 na expressão, simples assim:

underset(x -> 2)(lim) x + 3 = 2 + 3 = 5

Resposta

underset(x -> 2)(lim) (x^2 + x - 6)/(x - 2) = 5

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