Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart - Capítulo 2.8 - Ex. 11

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Trace ou copie o gráfico da função f dada. (Suponha eixos com a mesma escala.) Use então o método do Exemplo 1 para esboçar o gráfico de f ‘ .

Passo 1

Preparados para mais um exercício sobre gráficos de derivadas? Sim? Então bora meter ficha!

Para esboçar o gráfico da derivada, temos que prestar atenção em alguns pontos do gráfico original. Nos intervalos onde a função f decresce, a derivada f ' será negativa. Nos casos em que f cresce, f ' será positiva, não se esqueçam!

Vale ressaltar também que, quanto mais rápido ta aumentando ou diminuindo os valores na função, mais longe o eixo x estarão os pontos correspondentes no gráfico da derivada, beleza? Isso vai ajudar a dar o formato do desenho.

Além disso, temos que procurar os pontos onde temos uma tangente na horizontal – como a derivada é a inclinação da reta tangente, nesses pontos, a f ' será zero.

Ah, uma coisa importantíssima aqui: Teremos um ponto onde a derivada não vai existir! Isso vai acontecer porque encontraremos uma tangente na vertical quando analisarmos o gráfico de f , beleza? S-E-M-P-R-E que isso rolar com algum ponto em alguma função, não vamos ter a derivada nesse ponto. Isso é regra, fechou?

Agora, vamos começar a nossa análise do gráfico. No desenho abaixo, as setas em vermelho indicam se o trecho está crescendo ou decrescendo, enquanto as retas tangentes horizontais estão em preto. Saca só como ficou nosso diagrama:

Passo 2

Já podemos esboçar quem é f ' ! Temos só que seguir as regras ditas no início do passo 1 . Dá uma olhada em como vai ficar a comparação entre o gráfico original e o da sua derivada:

Perceba que, bem onde temos a tangente vertical em f ( cruzamento com o eixo y ), no gráfico de f ' teremos uma assíntota vertical – o gráfico de f ' nunca tocará no eixo y justamente porque a derivada não existe lá, entendeu? Fica sempre atento nisso!

Resposta

O esboço de f ' será o seguinte:

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