Enunciado

Calcule o limite, se ele existir.

lim h → 0 ⁡ 9 + h - 3 h

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite:

lim h → 0 ⁡ 9 + h - 3 h

Observe que nós temos h tendendo a 0 e queremos saber pra qual valor a função f h = 9 + h - 3 h vai se aproximar quando isso acontece.

Se a gente simplesmente substituir h = 0 na função, vamos ter:

9 + 0 - 3 0 = 0 0

Ou seja, teremos uma indeterminação.

Então, o que nós precisamos fazer é encontrar uma forma de simplificar essa função pra que a gente consiga aplicar o limite sem cair em uma indeterminação.

Como temos o termo 9 + h - 3 no numerador, é uma boa ideia multiplicarmos a fração pelo conjugado 9 + h + 3 . Dessa forma, vamos fazer aparecer a seguinte fatoração:

a - b a + b = a 2 - b 2

E conseguiremos simplificar a nossa função e aplicar o limite.

Vamos lá!

Passo 2

Começaremos o exercício multiplicando o limite pelo “conjugado” do numerador. Dessa forma, teremos:

lim h → 0 ⁡ 9 + h - 3 h . 9 + h + 3 9 + h + 3

Aplicando a distributiva no produto do numerador, ficamos com:

lim h → 0 ⁡ 9 + h ∙ 9 + h - 3 9 + h + 3 9 + h - 3 ∙ 3 h 9 + h + 3

Simplificando os termos semelhantes:

lim h → 0 ⁡ 9 + h 2 - 3 2 h 9 + h + 3

Cortando a raiz com a potência e elevando 3 ao quadrado:

lim h → 0 ⁡ 9 + h - 9 h 9 + h + 3

= lim h → 0 ⁡ h h 9 + h + 3

Agora simplificando o termo h que aparece no numerador e no denominador, obtemos:

lim h → 0 ⁡ 1 9 + h + 3

Passo 3

Agora que não temos mais indeterminação, podemos aplicar o limite:

= 1 9 + 0 + 3

= 1 6

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

lim h → 0 ⁡ 9 + h - 3 h = 1 6

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