Enunciado

Calcule o limite, se ele existir.

lim x → - 4 ⁡ x 2 + 9 - 5 x + 4

Passo 1

Fala aí pessoa!

Iremos analisar o seguinte limite:

lim x → - 4 ⁡ x 2 + 9 - 5 x + 4

A primeira tentativa é sempre:

lim x → - 4 ⁡ x 2 + 9 - 5 x + 4 = 0 0

Uma indeterminação! Então temos que fazer alguma manipulação matemática pra sumir com essa indeterminação.

VOU DAR UMA DICA BOA!

Quando subtrações de termos com raízes, você pode desconfiar de que temos que multiplicar pelo conjugado. Costuma resolver!

O conjugado de x 2 + 9 - 5 é x 2 + 9 + 5

Passo 2

Começaremos o exercício multiplicando a expressão pelo “conjugado” do numerador, em cima e embaixo, sendo assim:

lim x → - 4 ⁡ x 2 + 9 - 5 x + 4 . x 2 + 9 + 5 x 2 + 9 + 5 = lim x → - 4 ⁡ x 2 + 9 - 25 x + 4 x 2 + 9 + 5

Agora simplificando o numerador, temos:

lim x → - 4 ⁡ x 2 - 16 x + 4 x 2 + 9 + 5

Olha a cara desse numerador. Se você lembrar bem é uma diferença de dois quadrados perfeitos. E quando rola isso, tem uma fatoração clássica pra gente usar:

a 2 - b 2 = ( a + b ) ( a - b )

Vamos aplicar ao numerador:

lim x → - 4 ⁡ ( x + 4 ) ( x - 4 ) x + 4 x 2 + 9 + 5

QUE MARAVILHA! PODEMOS SIMPLIFICAR!

Simplificando o termo ( x + 4 ) que aparece no numerador e no denominador, obtemos:

lim x → - 4 ⁡ ( x - 4 ) x 2 + 9 + 5

Passo 3

Agora é só calcular o limite normalmente, substituindo os valores para x , obtendo:

lim x → - 4 ⁡ x - 4 x 2 + 9 + 5 = - 4 - 4 - 4 2 + 9 + 5 = - 8 5 + 5

lim x → - 4 ⁡ x 2 + 9 - 5 x + 4 = - 4 5

Resposta

lim x → - 4 ⁡ x 2 + 9 - 5 x + 4 = - 4 5

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Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite e ilustre com um diagrama como o da Figura 9. lim x → - 2 ⁡ 3 x + 5 = - 1
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