Enunciado

Prove que x 10 < e x para x suficientemente grande, calculando:

lim x → + ∞ ⁡ x 10 e x

Passo 1

Bem, galera, como a questão nos diz que teremos um x suficientemente grande, podemos assegurar que x ≠ 0 , o que garante que podemos fazer manipulações algébricas com esse bendito x.

Logo, se:

x 10 < e x

Sabendo que x 10 e e x são funções contínuas e positivas, é válido dizer que:

x 10 e x < 1

Passo 2

Como queremos um x suficientemente grande, iremos fazer x → + ∞ e esse quociente deve ser menor que 1, como provado anteriormente:

lim x → + ∞ ⁡ x 10 e x < 1

Para resolver esse limite, como teremos uma indeterminação do tipo + ∞ + ∞ , precisaremos recorrer ao Teorema de L’Hôpital que nos assegura que:

lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) g ( x ) = lim x → + ∞ ⁡ f ' ( x ) g ' ( x )

Ao passo que:

f x = x 10

f ' x = 10 x 9

g x = e x

g ' x = e x

Teremos que:

lim x → + ∞ ⁡ f ' ( x ) g ' ( x ) = lim x → + ∞ ⁡ 10 x 9 e x

Entretanto, é percebemos que continuaremos com a indeterminação!!!

Ao mesmo tempo, percebemos intuitivamente que precisaremos eliminar a incógnita x do dividendo, para isso, usaremos o recurso do teorema de L’Hôpital até n vezes necessárias.

Temos que:

f x = x 10

f 1 x = 10 x 9

f 2 x = 10.9 x 8

...

f 10 x = 10 !

Atenção 1: f n x : n - é s i m a   d e r i v a d a   d e   f x   e m   x

Atenção 2: n ! = n . n - 1 . n - 2 . n - 3 … 3.2 . 1

Analogamente, temos que:

g x = e x

g 1 x = e x

g 2 x = e x

...

g 10 x = e x

Portanto:

lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) g ( x ) = lim x → + ∞ ⁡ f 10 ( x ) g 10 ( x ) = lim x → + ∞ ⁡ 10 ! e x = 10 ! lim x → + ∞ ⁡ 1 e x

Como sabemos, a função e x é crescente para todo x real e positivo, logo lim x → + ∞ ⁡ 1 e x = 0

lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) g ( x ) = 0.10 ! = 0

Passo 3

Como o enunciado nos pede, conseguimos encontrar um valor para o limite dado e esse valor coincide com o intervalo necessário para que x 10 seja menor que e x para x suficientemente grande.

lim x → + ∞ ⁡ x 10 e x = 0 < 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim x → ∞ ⁡ x ( ln ⁡ 2 ) /
Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim x → ∞ ⁡ e x + x 1 / x
Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim x → 0 + ⁡ 4 x + 1 c o
Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim x → 1 ⁡ 2 - x t g ( π
Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim x → 0 + ⁡ t g2 x x