Calcule a integral indefinida.

∫ d x x 25 - x 2

Passo 1

Primeiramente vamos pegar o 25 - x 2 e desenvolver a Identidade Pitagórica.

t = 25 - x 2

t 2 = 5 2 - x 2

t 2 + x 2 = 5 2

Montando o triângulo temos

Com base nesse triângulo vamos usar a seguinte relação trigonométrica sin ⁡ θ = x 5

Passo 2

Agora vamos aplicar a seguinte substituição chamar x = 5 sin ⁡ θ e também as mudanças necessárias.

x = 5 sin ⁡ θ

d x = 5 cos ⁡ θ d θ

∫ 5 cos ⁡ θ d θ 5 sin ⁡ θ   2 5 - 5 sin ⁡ θ 2

Passo 3

Vamos por alguns valores em evidência e aplicar a Identidade Trigonométrica.

∫ 5 cos ⁡ θ d θ 5 sin ⁡ θ   25 1 - sin 2 ⁡ θ

cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1

∫ 5 cos ⁡ θ d θ 5 sin ⁡ θ ∙   5 cos ⁡ θ

∫ d θ 5 sin ⁡ θ

1 5 ∫ csc ⁡ θ d θ

Passo 4

Agora podemos resolver a integral e em seguida desfazer as mudanças através das relações trigonométricas do triângulo montado anteriormente cot ⁡ θ = 25 - x 2 x e csc ⁡ θ = 5 x .

1 5 ∫ csc ⁡ θ

1 5 ln ⁡ csc ⁡ θ - cot ⁡ θ + c

1 5 ln ⁡ 5 x - 25 - x 2 x + c

1 5 ln ⁡ 5 - 25 - x 2 x + c

1 5 ln ⁡ 5 - 25 - x 2 - ln ⁡ x + c

Resposta

1 5 ln ⁡ 5 - 25 - x 2 - ln ⁡ x + c

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