Calcule o limite, se existir.

lim x → + ∞ ⁡ e x + x 2 x

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação ∞ 0 , vamos aplicar algumas manipulações para chegar na indeterminação ∞ ∞ ou 0 0 . Dessa forma vamos aplicar o exponencial de logaritmo natural na expressão.

e lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ e x + x 2 x =   e lim x → + ∞ 2 x ⁡ ln ⁡ e x + x

Passo 2

Agora temos lim x → + ∞ 2 x ⁡ ln ⁡ e x + x que se trata de uma indeterminação ∞ ∞ , assim vamos aplicar L’Hôpital.

lim x → + ∞ 2 x ⁡ ln ⁡ e x + x = 2 lim x → + ∞ ⁡ e x + 1 e x + x 1

Passo 3

Como ainda temos a indeterminação ∞ ∞ aplicaremos L’Hôpital novamente

2 lim x → + ∞ ⁡ e x + 1 e x + x = 2 lim x → + ∞ ⁡ e x e x + 1

Passo 4

Como ainda temos a indeterminação ∞ ∞ aplicaremos L’Hôpital novamente

2 lim x → + ∞ ⁡ e x e x = 2 lim x → + ∞ ⁡ 1 = 2

lim x → + ∞ ⁡ e x + x 2 x =   e lim x → + ∞ 2 x ⁡ ln ⁡ e x + x = e 2 lim x → + ∞ ⁡ 1 = e 2

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ e x + x 2 x = e 2

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