Enunciado

Nos exercícios de 1 a 18, calcule o limite, se existir.

lim t → 0 - ⁡ 1 + 4 t 3 t

Passo 1

Nesta seção, a maioria dos limites que formos resolver estão associados com alguma forma indeterminada. As formas indeterminadas mais comuns são ∞ ∞ e 0 0 . Existe também outras formas indeterminadas como ∞ 0   ,   1 ∞   e   0 0 .

Para resolvermos os limites que estão sujeitos à algumas dessas formas indeterminadas, podemos utilizar a Regra de L´Hôspital. Essa regra nos diz que ao encontrar uma das formas indeterminadas no cálculo de algum limite devemos derivar o numerado e o denominador, separadamente, até que a indeterminação deixe de existir.

Em alguns casos devemos fazer com que apareçam essas indeterminações, por meio de artifícios matemáticos, para que possamos aplicar a Regra de L´Hôspital e a resolução do limite se tornar mais fácil.

Passo 2

Sendo assim, calculando o limite em questão temos que:

lim t → 0 - ⁡ 1 + 4 t 3 t = ⏞ 1 ∞  

Neste tipo de indeterminação, podemos reescrever o problema:

1 + 4 t 3 t = e l n 1 + 4 t 3 t = e 3 t . l n ( 1 + 4 t )

Portanto o limite pode ser escrito como:

lim t → 0 - ⁡ 1 + 4 t 3 t = l i m ⁡ x → 0 - e 3 t . l n ( 1 + 4 t )

Passo 3

Para isso devo saber para onde 3 t . l n ( 1 + 4 t ) vai tender, para eu substituir na equação do limite e encontrar o resultado do mesmo. Assim :

l i m ⁡ x → 0 -   3 t . l n 1 + 4 t = ⏞ 0 0   L ´ H lim ⁡ 3.1 1 + 4 t . 4 1 x → 0 - = 12

Passo 4

Assim, o valor do limite procurado é:

lim t → 0 - ⁡ 1 + 4 t 3 t = l i m ⁡ x → 0 - e 3 t . l n ( 1 + 4 t ) = l i m ⁡ x → 0 - e 12 = e 12

Resposta

lim t → 0 - ⁡ 1 + 4 t 3 t = e 12

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 + ⁡ x 3 x 4 + ln ⁡ x
Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → + ∞ ⁡ x 99 e x
Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 3 ⁡ 6 - 2 x + 3 x 2 - x 3 x 4 - 3 x 3 - x + 3
Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x c o t g x
Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → + ∞ ⁡ x 2 - 6 x + 7 x 3 + 7 x - 1