Enunciado

Ache o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo y, da região limitada pelo gráfico de y = x - 3 e pelas retas x = 1 , x = 5 , e y = 0 . Tome os elementos de área retangulares paralelos ao eixo de revolução.

Passo 1

Vamos primeiro fazer um esboço da região que é tratada no enunciado:

Como se trata da rotação em torno do eixo y, vamos usar a equação de volume por invólucro cilíndrico:

V = 2 π ∫ a b x f x d x

Passo 2

Vamos separar a nossa região na soma de duas funções, o triangulo da esquerda e o triangulo da direita. Como a questão pede elementos de retangulares paralelos ao eixo de revolução, serão elementos verticais, e portanto, estaremos integrando em x.

O triângulo da esquerda será escrito como:

f x = ( - x + 3 )

E o da direita:

f x = x - 3

Nossa integral de volume então será separada em duas:

V = 2 π ∫ a b x ( - x + 3 ) d x + 2 π ∫ c d x x - 3 d x

Os primeiro dois limites de integração serão da reta x = 1 até o ponto onde a função é descontínua x = 3 . E os dois últimos é da descontinuidade até a reta x = 5 .

Nossas integrais ficam então:

V = 2 π ∫ 1 3 x ( - x + 3 ) d x + 2 π ∫ 3 5 x x - 3 d x

Passo 3

Resolveremos primeiro as integrais indefinidas:

2 π ∫ x ( - x + 3 ) d x + 2 π ∫ x x - 3 d x

A primeira ficará:

2 π ∫ - x 2 + 3 x d x

Integrando:

2 π - x 3 3 + 3 2 x 2 + c

Substituindo os limites:

V 1 = 2 π - 3 3 3 + 3 2 3 2 - - 1 3 3 + 3 2 1 2

V 1 = 2 π - 27 3 + 27 2 - - 1 3 + 3 2

V 1 = 2 π 27 6 - 7 6

V 1 = 2 0 π 3

Para o volume do outro triângulo, a segunda integral fica:

2 π ∫ x 2 - 3 x d x

Integrando cada termo:

2 π x 3 3 - 3 2 x 2

Substituindo os limites de integração:

V 2 = 2 π 5 3 3 - 3 2 . 5 2 - 2 π 3 3 3 - 3 2 . 3 2

V 2 = 52 π 3

Somando os dois volumes:

V = V 1 + V 2 = 20 π 3 + 52 π 3 = 24 π

Resposta

V = 24 π

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