Enunciado

Calcule o limite, se existir.

lim t → - 3 ⁡ t 2 - 9 2 t 2 + 7 t + 3

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos calcular o seguinte limite:

lim t → - 3 ⁡ t 2 - 9 2 t 2 + 7 t + 3

Para calcular esse limite vemos que apenas substituindo o valor - 3 na expressão não é uma boa tentativa, ao fazer isso, ficamos com a inderterminação:

lim t → - 3 ⁡ t 2 - 9 2 t 2 + 7 t + 3 = - 3 2 - 9 2 - 3 2 + 7 - 3 + 3

= 9 - 9 18 - 21 + 3 = 0 0

É preciso então fazer manipulações para tirar essa indeterminação, vamos analisar um pouco com calma e descobrir como resolver.

Podemos fatorar as expressões e tentar achar valores iguais tanto no numerador quanto denominador, então vamos lá!!

Passo 2

Vamos analisar o limite:

lim t → - 3 ⁡ t 2 - 9 2 t 2 + 7 t + 3

Quando temos quociente de polinômios com t tendendo a um número, uma boa estratégia é a gente fatorar o numerador e o denominador.

Para o numerador, vemos que

t 2 - 9 = ( t - 3 ) ( t + 3 )

O que é um cláááásico produto notável: a diferença de quadrados.

a 2 - b 2 = ( a - b ) ( a + b )

Passo 3

No denominador temos um polinômio de segundo grau. Lembrando que podemos reescrever um polinômio de segundo grau como:

a x 2 + b x + c = a x - r 1 x - r 2

Onde r 1 e r 2 são as raízes.

Vamos encontrar as raízes dessa equação:

2 t 2 + 7 t + 3 = 0

Usando Bhaskara:

r = - b ± - 4 a c + b 2 2 a

r = - 7 ± - 4 ( 2 ) ( 3 ) + 7 2 2 2

r = - 7 ± 5 4

Achamos as raízes:

r 1 = - 1 2

r 2 = - 3

Reescrevendo o polinômio de segundo grau:

2 t 2 + 7 t + 3 = 2 t - r 1 t - r 2

= 2 t - - 1 2 t - - 3

= 2 t + 1 2 t + 3

= ( 2 t + 1 ) ( t + 3 )

Agora é só substituir na expressão original, vamos lá!

lim t → - 3 ⁡ t 2 - 9 2 t 2 + 7 t + 3 = lim t → - 3 ⁡ ( t - 3 ) ( t + 3 ) ( 2 t + 1 ) ( t + 3 )

Passo 4

Devemos fazer uma última simplificação, veja que podemos eliminar o termo ( t + 3 ) , já que ele aparece tanto no numerador quanto no denominador:

lim t → - 3 ⁡     ( t - 3 ) ( t + 3 ) ( 2 t + 1 ) ( t + 3 ) = lim t → - 3 ⁡     t - 3 2 t + 1

Agora é só substituir o valor - 3 na expressão e tudo pronto!!

lim t → - 3 ⁡ t - 3 2 t + 1 = - 3 - 3 2 - 3 + 1

= - 6 - 5

= 6 5

Viu? Indeterminação sumiu!

Resposta

lim t → - 3 ⁡ t 2 - 9 2 t 2 + 7 t + 3 = 6 5

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