Enunciado

Use um gráfico para encontrar um número δ tal que

se x - 1 < δ então 2 x x 2 + 4 - 0,4 < 0,1

Passo 1

Fala aí, tudo certinho com você?

Bom, essa questão pede pra gente usar um gráfico para encontrar um número δ tal que 2 x x 2 + 4 - 0,4 < 0 , 1 sempre que x - 1 < δ .

O que devemos fazer aqui é dizer qual é o número δ que respeita essa condição. Vamos então traçar o gráfico de 2 x x 2 + 4 - 0,4 para ver isso acontecendo. Vem que te ajudo com isso.

Passo 2

Antes de plotarmos o gráfico vamos fazer algumas modificações na expressão para tornar nossa resolução mais simples. Observe que:

2 x x 2 + 4 - 0,4 < 0,1

Tirando do módulo, teremos:

- 0 , 1 < 2 x x 2 + 4 - 0 , < 0 , 1

E resolvendo dos dois lados, ficamos com:

0,3 < 2 x x 2 + 4 < 0,5

Perfeito!

Assim, precisamos determinar os valores de x para os quais a curva y = 2 x x 2 + 4 está entre as restas horizontais y = 0,3 e y = 0,5 .

Passo 3

Agora, vamos plotar o gráfico das três funções:

y = 2 x x 2 + 4

y = 0,3

y = 0,5

E obtemos o seguinte gráfico:

Passo 4

Vemos o ponto de intersecção da curva com as retas nos dá:

0,6667 < x < 2

Vemos que esse intervalo não é simétrico em torno de 1 .

Dessa forma, podemos verificar um valor para δ

1 - x < δ

1 - 0,6667 = 0 , 3333

2 - 1 = 1

Nosso δ vai ser o valor mínimo entre os 2, portanto, 0,33333 < δ < 1

1 - 0,6667 = 0,3333

Podemos escolher δ como o menor desses números para não sairmos do intervalo desejado, isto é δ = 0,3333 . Embora tenhamos escolhido δ = 0,3333 , qualquer valor menor positivo de δ também funcionaria.

Resposta

δ = 0,3333

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