Enunciado

Use a parte 1 do Teorema fundamental do Calculo para encontrar a derivada da função

h x = ∫ 0 x 2 1 + r 3   d r  

Passo 1

Pra começar a resolução, vamos fazer algumas considerações. Seja u tal que

u = x 2

Então, diferenciando

d u d x = 2 x

Pela regra da cadeia, temos que

d h d x = d h d u d u d x

Sabemos também, da Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo que se

g x = ∫ a x f t   d t

Então

g ' x = f ( x )

Passo 2

Agora, vamos derivar a função dada

d h d x = d d x ∫ 0 x 2 1 + r 3   d r  

Lembra que dizemos que   u = x 2 ? Então, usando a regra da cadeia, podemos substituir e ficamos com

d h d x = d d u ∫ 0 u 1 + r 3   d r   d u d x  

Então, pela parte 1 do Teorema Fundamental do Calculo, e substituindo u a gente consegue ver que

h ' x = 1 + u 3 2 x = 1 + x 2 3 ( 2 x )

h ' x = 2 x 1 + x 6

Resposta

h ' x = 2 x 1 + x 6

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