Enunciado

Use um gráfico para estimar o valor do limite. Então use a Regra de L’Hospital para encontrar o valor exato.

lim x → π 4 ⁡   t g x t g 2 x

Passo 1

Nessa questão ele nos pede para calcular o seguinte limite:

L = lim x → π 4 ⁡   t g x t g 2 x

Fazendo um gráfico para função t g x t g 2 x . Temos o seguinte:

Com isso, podemos estimar que o limite será 0,368 , pois quanto maior o valor de x , mais o gráfico se aproxima da reta x = π 4 ≈ 0,785 .

Passo 2

Agora vamos usar a regra de L’Hospital para verificar se o limite é realmente 0,368 .

L = lim x → π 4 ⁡   t g x t g 2 x

Para resolver esse limite, vamos fazer assim ó:

t g x t g 2 x = e ln ⁡ t g x t g 2 x

Logo,

t g x t g 2 x = e t g 2 x ⋅ ln ⁡ t g x

Para isso, basta calcular o limite do exponencial, olha só:

L = e lim x → π 4 ⁡ t g 2 x ⋅ ln ⁡ t g x

Vamos calcular esse limite separadamente:

L 1 = lim x → π 4 ⁡ t g 2 x ⋅ ln ⁡ t g x

Se fizermos x = ∞ :

L 1 = 0 × - ∞

Então vamos fazer aparecer uma indeterminação do tipo ∞ ∞ para aplicarmos a regra de L’Hospital. Para isso, vamos passa o t g 2 x no nosso limite para baixo. Olha só:

L 1 = lim x → π 4 ⁡   ln ⁡ t g x 1 t g 2 x

Isto é,

L 1 = lim x → π 4 ⁡   ln ⁡ t g x c o t g ( 2 x )

Passo 3

Aplicando a regra de L’Hospital:

L 1 = lim x → π 4 ⁡   1 t g x ⋅ sec 2 ⁡ x - c o s s e c 2 2 x ⋅ 2

Assim,

L 1 = lim x → π 4 ⁡ - s e n 2 2 x 2 t g x cos 2 ⁡ ( x )

Usando que s e n 2 x = 2 s e n x cos ⁡ x :

L 1 = lim x → π 4 ⁡ - 4 ⋅ s e n 2 x cos 2 ⁡ x 2 ⋅ s e n x cos ⁡ x cos 2 ⁡ x

simplificando, temos:

L 1 = lim x → π 4 ⁡ - 2 s e n x cos ⁡ x

Agora basta fazermos x = π 4 :

L 1 = - 2 ⋅ 2 2 ⋅ 2 2 → L 1 = - 1

Pra finalizar, basta acharmos L :

L = e   lim x → π 4 ⁡ t g 2 x ⋅ ln ⁡ t g x

Como já vimos que o limite desse expoente dá -1:

L = 1 e

O que concorda com o nosso gráfico, pois 1 e ≈ 0,785 .

Resposta

L = 1 e

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