Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.4 - Ex. 64
Use um gráfico para estimar o valor do limite. Então use a Regra de L’Hospital para encontrar o valor exato.
Passo 1
Nessa questão ele nos pede para calcular o seguinte limite:
Fazendo um gráfico para função . Temos o seguinte:
Com isso, podemos estimar que o limite será , pois quanto maior o valor de , mais o gráfico se aproxima da reta .
Passo 2
Agora vamos usar a regra de L’Hospital para verificar se o limite é realmente .
Para resolver esse limite, vamos fazer assim ó:
Logo,
Para isso, basta calcular o limite do exponencial, olha só:
Vamos calcular esse limite separadamente:
Se fizermos :
Então vamos fazer aparecer uma indeterminação do tipo para aplicarmos a regra de L’Hospital. Para isso, vamos passa o no nosso limite para baixo. Olha só:
Isto é,
Passo 3
Aplicando a regra de L’Hospital:
Assim,
Usando que :
simplificando, temos:
Agora basta fazermos :
Pra finalizar, basta acharmos :
Como já vimos que o limite desse expoente dá -1:
O que concorda com o nosso gráfico, pois .