Enunciado

Calcule o limite, se existir.

underset(x -> 0^+)(lim) (x)^(sin x)

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação 0^0 , vamos aplicar algumas manipulações para chegar na indeterminação (oo)/(oo) ou (0)/(0) . Dessa forma vamos aplicar o exponencial de logaritmo natural na expressão.

e^(underset(x -> 0^+)(lim) ln (x)^(sin x)) = e^(underset(x -> 0^+)(lim) sin x * ln (x))

Passo 2

Agora temos underset(x -> 0^+)(lim) sin x * ln (x) que se trata de uma indeterminação 0 * oo , assim vamos aplicar outra manipulação, vamos inverter duas vezes sin x .

underset(x -> 0^+)(lim) (ln (x))/(1 // sin x) = underset(x -> 0^+)(lim) (ln (x))/(csc x)

Passo 3

Aplicando L’Hôpital no limite temos e fazendo algumas manipulações temos

underset(x -> 0^+)(lim) - ((1)/(x))/(csc x cot x) = underset(x -> 0^+)(lim) - ((1)/(x))/((cos x)/(sin^2 x)) = underset(x -> 0^+)(lim) - (sin^2 x)/(x cos x)

Passo 4

Como ainda temos a indeterminação (0)/(0) aplicaremos L’Hôpital novamente.

underset(x -> 0^+)(lim) - (sin^2 x)/(x cos x) = underset(x -> 0^+)(lim) - (2 sin x cos x)/(cos x + x sin x) = 0

underset(x -> 0^+)(lim) (x)^(sin x) = e^(underset(x -> 0^+)(lim) sin x * ln (x)) = e^(underset(x -> 0^+)(lim) - (2 sin x cos x)/(cos x + x sin x)) = e^0 = 1

Resposta

underset(x -> 0^+)(lim) (x)^(sin x) = 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule o limite usando um dos métodos estudados no Capítulo 2. lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 4 x 3 - x - 3
Calcule o limite usando um dos métodos estudados no Capítulo 2. lim x → - 2 ⁡ x + 2 x 2 - 4
Calcule o limite usando um dos métodos estudados no Capítulo 2. lim x → 0 ⁡ s e n5 x x
90- Função s e nx t gx Faça o gráfico de f x = s e nx t gx no intervalo - 7x7 . Como você explica as lacunas no gráfico? Qual a largura dessas lacunas?Agora faça o gráfico de f no intervalo 0 ≤ x ≤ π
(a)Prove que lim x → 0 ⁡ e - 1 x 2 x n = 0 para todo n inteiro positivo. (b) se f x = e - 1 x 2 , use o resultado de (a) para provar que os limites de f , e todas as suas derivadas , são 0 para x tend