Calcule o limite, se existir.

lim x → 0 + ⁡ x sin ⁡ x

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação 0 0 , vamos aplicar algumas manipulações para chegar na indeterminação ∞ ∞ ou 0 0 . Dessa forma vamos aplicar o exponencial de logaritmo natural na expressão.

e lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x sin ⁡ x =   e lim x → 0 + ⁡ sin ⁡ x ∙ ln ⁡ x

Passo 2

Agora temos lim x → 0 + ⁡ sin ⁡ x ∙ ln ⁡ x que se trata de uma indeterminação 0 ∙ ∞ , assim vamos aplicar outra manipulação, vamos inverter duas vezes sin ⁡ x .

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x 1 / sin ⁡ x   = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x csc ⁡ x

Passo 3

Aplicando L’Hôpital no limite temos e fazendo algumas manipulações temos

lim x → 0 + ⁡ - 1 x csc ⁡ x cot ⁡ x =   lim x → 0 + ⁡ - 1 x cos ⁡ x sin 2 ⁡ x =   lim x → 0 + ⁡ - sin 2 ⁡ x x cos ⁡ x

Passo 4

Como ainda temos a indeterminação 0 0 aplicaremos L’Hôpital novamente.

lim x → 0 + ⁡ - sin 2 ⁡ x x cos ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ - 2 sin ⁡ x cos ⁡ x cos ⁡ x + x sin ⁡ x = 0

lim x → 0 + ⁡ x sin ⁡ x =   e lim x → 0 + ⁡ sin ⁡ x ∙ ln ⁡ x = e lim x → 0 + ⁡ - 2 sin ⁡ x cos ⁡ x cos ⁡ x + x sin ⁡ x = e 0 = 1

Resposta

lim x → 0 + ⁡ x sin ⁡ x =   1

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