Enunciado

Calcule o limite.

underset(x -> 2)(lim) (x^2 + 3 x - 10)/(3 x^2 - 5 x - 2)

Passo 1

A primeira coisa que podemos tentar é substituir o 2 . Então vamos lá!

L = (2^2 + 3 * 2 - 10)/(3 * 2^2 - 5 * 2 - 2)

Assim,

L = (0)/(0)

Opa, como chegamos numa indeterminação temos que fatorar a expressão para buscar alguma simplificação.

Passo 2

Para fatorar o numerador vamos resolver a equação do segundo grau:

x^2 + 3 x - 10

Assim,

x = (- 3 +- sqrt(3^2 - 4 * 1 * (- 10)))/(2 * 1)

Logo,

x = - 5 ou x = 2

Fatorando:

x^2 + 3 x - 10 = (x + 5) (x - 2)

Fazendo o mesmo para o denominador:

3 x^2 - 5 x - 2

Resolvendo:

x = (5 +- sqrt(5^2 - 4 * 3 * (- 2)))/(2 * 3)

Fazendo as contas, vamos chegar em:

x = 2 ou x = - (1)/(3)

Fatorando:

3 x^2 - 5 x - 2 = 3 (x - 2) (x + (1)/(3))

Passo 3

Substituindo na expressão do limite:

L = underset(x -> 2)(lim) ((x + 5) (x - 2))/(3 (x - 2) (x + (1)/(3)))

Simplificando:

L = underset(x -> 2)(lim) (x + 5)/(3 (x + (1)/(3)))

Pra finalizar, basta fazermos x = 2 :

L = (2 + 5)/(3 * (2 + (1)/(3)))

Fazendo as contas:

L = 1

Resposta

L = 1

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