Calcule o limite.

lim x → 2 ⁡ x 2 + 3 x - 10 3 x 2 - 5 x - 2

Passo 1

A primeira coisa que podemos tentar é substituir o 2 . Então vamos lá!

L = 2 2 + 3 ⋅ 2 - 10 3 ⋅ 2 2 - 5 ⋅ 2 - 2

Assim,

L = 0 0

Opa, como chegamos numa indeterminação temos que fatorar a expressão para buscar alguma simplificação.

Passo 2

Para fatorar o numerador vamos resolver a equação do segundo grau:

x 2 + 3 x - 10

Assim,

x = - 3 ± 3 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ - 10 2 ⋅ 1

Logo,

x = - 5 ou x = 2

Fatorando:

x 2 + 3 x - 10 = x + 5 x - 2

Fazendo o mesmo para o denominador:

3 x 2 - 5 x - 2

Resolvendo:

x = 5 ± 5 2 - 4 ⋅ 3 ⋅ - 2 2 ⋅ 3

Fazendo as contas, vamos chegar em:

x = 2 ou x = - 1 3

Fatorando:

3 x 2 - 5 x - 2 = 3 x - 2 x + 1 3

Passo 3

Substituindo na expressão do limite:

L = lim x → 2 ⁡ x + 5 x - 2 3 x - 2 x + 1 3

Simplificando:

L = lim x → 2 ⁡ x + 5 3 x + 1 3

Pra finalizar, basta fazermos x = 2 :

L = 2 + 5 3 ⋅ 2 + 1 3

Fazendo as contas:

L = 1

Resposta

L = 1

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