Calcule o limite.

lim x → 4 ⁡ 3 x 2 - 17 x + 20 4 x 2 - 25 x + 36

Passo 1

A primeira coisa que podemos tentar é substituir o 4. Então vamos lá!

L = 3 ⋅ 4 2 - 17 ⋅ 4 + 20 4 ⋅ 4 2 - 25 ⋅ 4 + 36

Assim,

L = 0 0

Opa, como chegamos numa indeterminação temos que fatorar a expressão para buscar alguma simplificação.

Passo 2

Para fatorar o numerador vamos resolver a equação do segundo grau:

3 x 2 - 17 x + 20

Assim,

x = 17 ± - 17 2 - 4 ⋅ 3 ⋅ 20 2 ⋅ 3

Arrumando as coisas:

x = 17 ± 49 6

Logo,

x = 5 3   ou x = 4

Fatorando:

3 x 2 - 17 x + 20 = 3 x - 5 3 x - 4

Passo 3

Agora vamos fazer o mesmo para o denominador.

4 x 2 - 25 x + 36

Assim,

x = 25 ± - 25 2 - 4 ⋅ 4 ⋅ 36 2 ⋅ 4

Arrumando as coisas:

x = 25 ± 49 8

Logo,

x = 4 ou x = 9 4

Fatorando:

4 x 2 - 25 x + 36 = 4 x - 4   x - 9 4

Passo 4

Voltando para o limite:

L = lim x → 4 ⁡   3 x - 5 3 x - 4 4 x - 4   x - 9 4

Simplificando:

L = lim x → 4 ⁡   3 x - 5 3 4 x - 9 4

Pra finalizar, basta fazermos x = 4 e correr pro abraço. Assim,

L = 3 ⋅ 4 - 5 3 4 ⋅ 4 - 9 4

Simplificando:

L = 1

Resposta

L = 1

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