Calcule o limite.

lim x → 1 ⁡ x 2 3 - 2 x 3 + 1 x - 1 2

Passo 1

A primeira coisa que podemos tentar é substituir o 1 . Então vamos lá!

L = 1 2 3 - 2 1 3 + 1 1 - 1 2

Assim,

L = 0 0

Opa, como chegamos numa indeterminação temos que dar uma mexida na expressão para tirar essa indeterminação. Repare que o numerador parece familiar, olha só:

a + 1 2 = a 2 + 2 a + 1

Mas nesse caso o a = x 3 . Então nosso limite ficara o seguinte:

L = lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 2 x - 1 2 = lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x - 1 2

Então vamos olhar para seguinte expressão:

E = x 3 - 1 x - 1

A ideia aqui não será muito simples, mas ta vendo o termo x 3 - 1 como temos uma raiz cubica, seria bom se conseguíssemos elevar ao cubo para eliminar a raiz. Para isso, vamos usar a seguinte fatoração:

m 3 - n 3 = m - n m 2 + m n + n 2

Como só temos o termo m - n onde m = x 3 e n = 1 , vamos ter que multiplicar por a 2 + a b + b 2 .

Passo 2

Agora vamos usar a dica do Passo anterior vamos multiplicar em cima e embaixo pelo seguinte:

x 3 2 + x 3 ⋅ 1 + 1 2

Assim,

E = x 3 - 1 x - 1 × x 3 2 + x 3 ⋅ 1 + 1 2 x 3 2 + x 3 ⋅ 1 + 1 2

Juntando tudo numa fração só e usando que   m 3 - n 3 = m - n m 2 + m n + n 2 :

E = x 3 3 - 1 3 x - 1 x 2 3 + x 3 + 1

Elevando os termos ao cubo:

E = x - 1 x - 1 2 x 2 3 + x 3 + 1

Simplificando:

E = 1 x - 1 x 2 3 + x 3 + 1

Passo 3

Pra finalizar vamos voltar para o limite. Antes tínhamos o seguinte:

L = lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x - 1 2

Do Passo 2:

x 3 - 1 x - 1 = ⁡ 1 x 2 3 + x 3 + 1

Substituindo na expressão do limite:

L = lim x → 1 ⁡ 1 x 2 3 + x 3 + 1 2

Agora basta fazer x = 1 e correr pro abraço. Assim,

L = 1 1 2 3 + 1 3 + 1 2

Portanto,

L = 1 3 2 → L = 1 9

Resposta

L = 1 9

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados