Enunciado

Calcule os limites aplicando os limites fundamentais.

lim x → 0 ⁡ 6 x - s e n 2 x 2 x + 3 s e n 4 x

Passo 1

Pra calcular esse limite, a gente vai ter que fazer aparecer o limite fundamental que a gente conhece de sempre:

lim y → 0 ⁡ s e n y y = 1

Esse y pode ser qualquer coisa, só importa que esteja igual no numerador e no denominador!

Passo 2

O nosso limite é esse aqui:

lim x → 0 ⁡ 6 x - s e n 2 x 2 x + 3 s e n 4 x

Pra gente fazer aparecer o limite fundamental, concorda comigo que seria só passar o x pra baixo do seno e dar uma ajeitada nas constantes? Olha só, então vamos dividir em cima e embaixo por x .

lim x → 0 ⁡ 6 x - s e n 2 x 2 x + 3 s e n 4 x = lim x → 0 ⁡ 6 - s e n 2 x x 2 + 3 s e n 4 x x

Agora, pra ficar exatamente o limite fundamental, a gente precisa multiplicar o x do numerador por 2 , e o do denominador por 4 , assim:

lim x → 0 ⁡ 6 x - s e n 2 x 2 x + 3 s e n 4 x = lim x → 0 ⁡ 6 - 2 s e n 2 x 2 x 2 + 3 × 4 s e n 4 x 4 x

Assim que aparecem os fundamentais! Então esse limite vai ficar:

lim x → 0 ⁡ 6 x - s e n 2 x 2 x + 3 s e n 4 x = 6 - 2 2 + 12 = 4 14

Simplificando,

lim x → 0 ⁡ 6 x - s e n 2 x 2 x + 3 s e n 4 x = 2 7

Resposta

lim x → 0 ⁡ 6 x - s e n 2 x 2 x + 3 s e n 4 x = 2 7

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