Enunciado

Calcule os limites aplicando os limites fundamentais.

lim x → 3 π 2 ⁡ 1 + c o s x 1 c o s x

Passo 1

Esse é um limite que quando você vê, tem que lembrar que ele é daquele tipo de limites que dá alguma forma do e , aquele número neperiano. Olha só a manipulação que vou fazer pra chegar nele. Lembrando que o limite que dá e é esse aqui:

lim x → ∞ ⁡ 1 + 1 x x

Passo 2

O nosso limite é esse aqui:

lim x → 3 π 2 ⁡ 1 + c o s x 1 c o s x

Ele já tá com bastante cara do limite que a gente queria, só que falta um detalhe... Vamos trocar esse cosseno por secante, pra chegar mais naquela cara. Como a gente sabe,

c o s x = 1 s e c x → s e c x = 1 c o s x

Substituindo isso no nosso limite;

lim x → 3 π 2 ⁡ 1 + c o s x 1 c o s x = lim x → 3 π 2 ⁡ 1 + 1 s e c x s e c x

Pronto, já tá mais no formato! Agora só falta ver aquele valor que o x tende. Bom, quando x tende pra π 2 , pra qual valor que ele vai? Vai pro infinito, não é? Então podemos reescrever essa parada assim:

lim x → 3 π 2 ⁡ 1 + c o s x 1 c o s x = lim secx → ∞ ⁡ 1 + 1 s e c x s e c x

Agora sim, tá pronto e igualzinho ao que a gente estava procurando.

lim x → 3 π 2 ⁡ 1 + c o s x 1 c o s x = e

Resposta

lim x → 3 π 2 ⁡ 1 + c o s x 1 c o s x = e

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