Enunciado

Calcule o momento de inércia do cubo homogêncio de aresta L , em relação a um eixo que contém uma das arestas.

Passo 1

Vamos olhar para o início da nossa seção 5.7 e nos atentar para a seguinte relação

I = ∭ B r 2 d m

Que é definido como nosso momento de inércia, na qual d m = δ x , y , z d x   d y   d z e δ x , y , z é nossa densidade volumétrica. Assim agora precisamos só aplicarmos nossa equação. Claro que estou aqui para ajuda-los ... então vamos lá

Passo 2

Como estamos lidando com um cubo, temos por consequência que 0 ≤ x ≤ L , 0 ≤ y ≤ L e 0 ≤ z ≤ L . O Exercício nos permite escolher a aresta que iremos calcular nosso momento de inércia, assim vamos tomar nosso momento com relação ao eixo z , ok ?

Desta forma, lembrando do nosso famoso pitagoras, ele ira dizer que, qualquer ponto dista de z , por x 2 + y 2 , assim tomando que nosso cubo é homogêneo, ou seja, δ x , y , z = k = c t e , temos que

I = ∫ 0 L ∫ 0 L ∫ 0 L x 2 + y 2   k   d x   d y   d z

Passo 3

Vamos integrar primeiro para z , assim temos

I = k L   ∫ 0 L ∫ 0 L x 2 + y 2 d x   d y

Integrando em x

I =   k L   ∫ 0 L x 3 3 + y 2 x 0 L d y = k L   ∫ 0 L L 3 3 + y 2 L d y

E por fim, vamos integrar em y

I = k L   L 3 3 y + y 3 3 L 0 L = 2 k L 5 3

Onde não podemos nos esquecer que, k é nossa densidade volumétrica e vale

k = M V → M = k L 3

Assim temos que nosso momento de inércia será

I = 2 3 M L 2

Resposta

I = 2 3 M L 2

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