Enunciado

Calcule o momento de inércia de um cone circular reto de altura h , raio da base R , homogêneo, em relação a um diâmetro de sua base.

Passo 1

Vamos olhar para o início da nossa seção 5.7 e nos atentar para a seguinte relação

I = ∭ B r 2 d m

Que é definido como nosso momento de inércia, na qual d m = δ x , y , z d x   d y   d z e δ x , y , z é nossa densidade volumétrica. Assim agora precisamos só aplicarmos nossa equação. Claro que estou aqui para ajuda-los ...

Passo 2

Podemos simplificar bastante nosso problema olhando para o exercício 9, 10, que sugere que o nosso centro de massa esteja em 0 ,   0 , 3 4 h e I y =   3 5 R 2 4 + h 2 , e além disso o Teorema de Steiner que nos diz que, seja I c m o momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo centro de massa de um corpo e I o momento de inércia em relação a um eixo paralelo, a uma distância h , então I = I c m + M h 2 , onde M é a massa do corpo .

Desta forma temos que h = 0 ,   0 , 3 4 h = 3 4 h =, implicando que a distância entre o centro de massa e a base do cone é 1 4 h

Temos que, podemos utilizar o Teorema de Steiner, fazemos que

I y = I r + M d 2 → I r = I y - M d 2  

Assim temos que o momento de inércia em relação ao uma reta que passa pelo centro de massa é

I r = 3 5 R 2 4 + h 2 - 9 16 M h 2 = 3 M 80 h 2 + 4 R 2

Agora seja s o diâmetro da base do cone paralelo ao eixo y . Ainda aplicando o teorema de Steiner, temos que

I s = I r + M d 2 = 3 M 80 h 2 + 4 R 2 + 1 16 M h 2 = M 20 2 h 2 + 3 R 2

Resposta

I s = M 20 2 h 2 + 3 R 2

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