Enunciado

Aplique o Teorema de Steiner ao item b do Exercício 4.

Passo 1

Vamos olhar para o início da nossa seção 5.7 e nos atentar para a seguinte relação

I = ∭ B r 2 d m

Que é definido como nosso momento de inércia, na qual d m = δ x , y , z d x   d y   d z e δ x , y , z é nossa densidade volumétrica. Assim agora precisamos só aplicarmos nossa equação. Claro que estou aqui para ajuda-los ...

O teorema de Steiner pode ser lido no enunciado do Exercício 5. ((Teorema de Steiner ou dos iexos paralelos). Seja I c m o momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo centro de massa de um corpo e I o momento de inércia em relação a um eixo paralelo, a uma distância h .) Assim temos que I = I c m + M h 2

Passo 2

Aplicando o Teorema de Steiner, temos então que

I = I c m + M a 2

Do item (a) temos que

I c m = M a 2 2

Então apenas substituindo e somando o nosso termos, temos

I = M a 2 1 2 + 1 = 3 2 M a 2

Simples não ? Deixamos a baixo o item (b) no nosso exercício 4 para que você possa comparar e distinguir a complexidade de aplicar ou não o nosso Teorema de Steiner.

Passo 3

b) Aqui queremos calcular o momento de icércia com relação ao eixo O z . Desta forma vamos apelar a nosso amigo pitagora e tomar que qualquer ponto dista do eixo z por r 2 = x 2 + y 2 .

Usando nossas coordenadas cilíndricas, temos

x = ρ cos ⁡ θ

y = ρ   s e n   θ

z = z

Assim temos que

x - a 2 - y 2 = a 2 → ρ 2 - 2 a ρ cos ⁡ θ = 1

ρ = 2 a cos ⁡ θ

Assim temos que

0 ≤ ρ ≤ 2 a cos ⁡ θ ,   - π / 2 ≤ θ ≤ π / 2 ,   0 ≤ z ≤ h

Com isso ficamos com

I = k ∫ - π / 2 π / 2 ∫ 0 h ∫ 0 2 a cos ⁡ θ ρ 2   ρ   d z   d θ   d ρ

Em z nossa integral da h e agora vamos resolver para ρ

Então temos

I = k h   ∫ - π / 2 π / 2 ρ 4 4 0 2 a cos ⁡ θ d θ = 8 k h a 4   ∫ - π / 2 π / 2 cos 4 ⁡ θ   d θ

Como cosseno é uma função par e estamos integrando em um intervalo simétrico, ficamos com

I = 8 a 4 k h ∫ 0 π / 2 cos 4 ⁡ θ   d θ

E agora como integra o cosseno a quarta?

Vamos fazer que cos 4 ⁡ θ = cos 3 ⁡ θ cos ⁡ θ . Assim usando integral por partes ( u   d v ) , temos

∫ 0 π / 2 cos 4 ⁡ θ d θ = ∫ 0 π / 2 cos 3 ⁡ θ cos ⁡ θ   d θ = cos 3 ⁡ θ   s e n   θ 0 π 2 - ∫ 0 π 2 - 3 cos 2 ⁡ θ   s e n 2 θ   d θ

A primeira parte da integral claramente é nula, visto que cos ⁡ π 2 = 0 e s e n   0 = 0 . Assim nos sobra que

∫ 0 π / 2 cos 4 ⁡ θ d θ = ∫ 0 π 2 3 cos 2 ⁡ θ   s e n 2 θ   d θ = 3 ∫ 0 π 2 cos ⁡ θ   s e n   θ 2   d θ

E lembrando nossas relações trigonométricas, ou deduzindo a partir de s e n   ( 2 θ ) , temos que

cos ⁡ θ   s e n   θ = s e n   ( 2 θ ) 2

Assim ficamos com

3 4 ∫ 0 π / 2 s e n 2 2 θ d θ

Outra relação importante que devemos lembrar dedizindo a partir de cos ⁡ 2 θ é

s e n 2 θ = 1 - cos ⁡ 2 θ 2

Assim novamos nossa integral se resume em

3 8 ∫ 0 π / 2 1 - cos ⁡ 4 θ d θ

Desta forma temos por fim

3 8 θ - s e n 4 θ 4 0 π / 2 = 3 π 16

E depois de muito sofrer neste nosso item, temos

I = 8 a 4 k h 3 π 16 = 3 π a 4 k h 2 = 3 2 M a 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Utilize coordenadas esféricas.a) Determine o centroide do hemisfério sólido homogêneo de raio a .b) Determine o momento de inércia do sólido da parte (a) em relação a um diâmetro de sua base.
a) Determine o centroide de um cone circular reto com altura h e base com raio a. (Coloque o cone de forma que a base esteja sobre o plano x y com o centro na origem e seu eixo esteja sobre o eixo z.)
(a) Encontre o centroide do sólido no Exemplo 4 .(b) Encontre o momento de inércia em torno do eixo z para este sólido.