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Calcule o momento de inércia da superfície homogênea, de massa M , de equação x 2 + y 2 = R 2   ( R > 0 ) , com 0 ≤ z ≤ 1 em torno do eixo O z .

Passo 1

O momento de inércia em relação ao eixo O z , é dada por:

I = k ∬ K x 2 + y 2 d S

Onde k é a densidade, que é constante.

Ok, vamos parametrizar essa superfície. Vamos usar coordenadas polares:

x = R cos ⁡ θ y = R s e n   θ z = z

Onde 0 ≤ θ ≤ 2 π e 0 ≤ z ≤ 1 .

E d x d y =   R   d z d θ .

Passo 2

Montamos a integral agora:

I = k ∫ 0 2 π ∫ 0 1 R 2 cos 2 ⁡ θ + R 2 s e n 2 θ R d z d θ

= k ∫ 0 2 π ∫ 0 1 R 2 R   d z d θ

= k   R 3 ∫ 0 2 π 1   d θ

= 2 k π R 3

Beleza, esse é o momento de inércia! Vamos relacionar ele com a massa agora...

Passo 3

A massa é dada pela área vezes a densidade. A área é assim:

A =   ∫ 0 2 π ∫ 0 1 R d z d θ

A = 2 π R

A massa então é:

M = 2 π k R

Ou seja, o momento de inércia é:

I = M R 2

Prontinho!

Resposta

I = M R 2

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