Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3 - Capítulo 9.4 - Ex. 5

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Calcule o momento de inércia da superfície homogênea, de massa M , de equação z = x 2 + y 2 ,   x 2 + y 2 ≤ R 2   ( R > 0 ) em torno do eixo O z .

Passo 1

O momento de inércia em relação ao eixo O z , é dada por:

I = k ∬ K x 2 + y 2 d S

Onde k é a densidade, que é constante.

Ok, vamos parametrizar essa superfície. Vamos chamar x = u   e   y = v . Temos a parametrização:

σ : u , v ,   u 2 + v 2

As derivadas parciais...

∂ σ ∂ u = ( 1,0 , 2 u )

∂ σ ∂ v = ( 0,1 , 2 v )

Fazendo o produto vetorial...

∂ σ ∂ u × ∂ σ ∂ v =   i → j → k → 1 0 2 u 0 1 2 v

= i → 0 2 u 1 2 v - j → 1 2 u 0 2 v + k → 1 0 0 1

=   i → - 2 u - j → 2 v + k →

Passo 2

Pra completar o cálculo do d S a gente faz a norma desse vetor encontrado:

d S = - 2 u 2 + 2 v 2 + 1 2 = 4 u 2 + 4 v 2 + 1

Beleza! A gente vai passar nossa região pra coordenadas polares agora...

x = u = ρ cos ⁡ θ y = v = ρ s e n θ z = x 2 + y 2 = u 2 + v 2 = ρ 2

Lembrando que o d x d y = ρ   d ρ d θ .

Os intervalos:

0 ≤ θ ≤ 2 π

ρ 2 ≤ R 2

ρ ≤ R

0 ≤ ρ ≤ R

Montando a integral então, temos:

I = k   ∫ 0 2 π ∫ 0 R ρ 2 4 ρ 2 + 1 ρ d ρ d θ

Passo 3

Vamos resolver agora, usamos uma integração por partes e chegamos em:

I = k ∫ 0 2 π 6 ρ 2 - 1 4 ρ 2 + 1 3 2 120 0 R d θ

I = k   ∫ 0 2 π 6 R 2 - 1 4 R 2 + 1 3 2 120 - 1 120 d θ

I = k 2 π 120 6 R 2 - 1 4 R 2 + 1 4 R 2 + 1 - 1

= k π 60 6 R 2 - 1 4 R 2 + 1 4 R 2 + 1 - 1

Só que... a gente precisa relacionar esse valor com a massa da superfície...

A área da superfície da esfera é I = k   ∫ 0 2 π ∫ 0 R 4 ρ 2 + 1 ρ d ρ d θ   , certo? Isso vai dar:

A = π 6 4 R 2 + 1 4 R 2 + 1 - 1

Como a massa é a área vezes a densidade, temos que:

M = k π 6 4 R 2 + 1 4 R 2 + 1 - 1  

Dividindo I por M , encontramos:

I = 1 10 M 6 R 2 - 1 - 1 4 R 2 + 1 4 R 2 + 1

Resposta

I = 1 10 M 6 R 2 - 1 - 1 4 R 2 + 1 4 R 2 + 1

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