Enunciado

Expresse a integral dupla em termos de uma integral unidimensional com relação a r . Em seguida, use a calculadora para avaliar a integral correta com quatro casas dimensionais.

∬ D x y 1 + x 2 + y 2 d A

Onde D é a porção do disco x 2 + y 2 ≤ 1 que fica no primeiro quadrante.

Passo 1

Como a nossa região é um quarto de um disco de raio 1, o qual está localizado no primeiro quadrante, em coordenadas polares, podemos escrevê-la da seguinte forma:

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ π 2

Portanto, a nossa integral transforma-se em:

∫ 0 1 ∫ 0 π 2 r 3 sen ⁡ θ cos ⁡ θ 1 + r 2 d θ d r

Passo 2

Inicialmente, vamos resolver a primeira parte da integral. Desta forma, temos:

∫ 0 1 ∫ 0 π 2 r 3 sen ⁡ θ cos ⁡ θ 1 + r 2 d θ d r = ∫ 0 1 r 3 1 + r 2 ⋅ cos 2 ⁡ θ 2 0 π 2 d r

∫ 0 1 r 3 1 + r 2 2 d r

Para resolvermos esta integral, precisamos da ajuda de softwares ou calculadoras que o resolvam. Sendo assim, temos:

Aproximando o valor da integral para 4 casas decimais, temos:

∬ D x y 1 + x 2 + y 2 d A ≅ 0,1609

Resposta

∬ D x y 1 + x 2 + y 2 d A ≅ 0,1609

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.Abaixo do plano 2 x + y + z = 4 e acima do disco x 2 + y 2 ≤ 1 .
Use coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.Dentro da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 16 e fora do cilindro x 2 + y 2 = 4 .
Calcule a integral iterada convertendo para coordenadas polares. ∫ 0 a ∫ - a 2 - y 2a 2 - y 22 x + y d x d y
Uma piscina circular tem diâmetro de 10 metros. A profundidade é constante ao longo das retas de leste para oeste e cresce linearmente de 1 metro na extremidade sul para dois metros na extremidade nor
Use coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.Abaixo do paraboloide z = x 2 + y 2 e acima do disco x 2 + y 2 ≤ 25 .