Calcule ∫ ∫ B y d x d y onde B é o conjunto dado.

Passo 1

Chamando a integral dupla do teorema de Fubini de F :

F = ∫ ∫ B y d x d y

Ou:

F = ∫ a b ∫ c y d y y d x d y = ∫ c d ∫ a x b x y d y d x

Ao igualar x = 0 :

- 2 ≤ y ≤ 2

No entanto, o enunciado diz que o valor de y está restrito a valores positivos, ou seja:

0 ≤ y ≤ 2

E isolando x na inequação:

- 4 - y 2 ≤ x ≤ 4 - y 2

Passo 2

Assim, é possível calcular:

F = ∫ 0 2 ∫ x = - 4 - y 2 x = 4 - y 2 y d x d y

F = ∫ 0 2 y x | x = 4 - y 2 x = - 4 - y 2 d y

Substituindo o intervalo de integração em x :

F = ∫ 0 2 y 4 - y 2 - - 4 - y 2 d y = ∫ 0 2 2 y 4 - y 2 d y

Para essa equação, a resolução pode ser feita através da integração por substituição simples, tomando u = 4 - y 2 , tal que d u = - 2 y d y . Logo:

F = ∫ 0 2 u - d u = - 2 3 u 3 / 2 | 2 0

Substituindo a variável original de volta:

F = - 2 3 4 - y 2 3 / 2 | 2 0

E substituindo o intervalo de integração:

F = - 2 3 4 - 4 3 / 2 - 4 - 0 3 / 2

F = 2 3 8 = 16 3

Resposta

16 3

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