Enunciado

2. AS integrais abaixo não podem ser calculadas exatamente, em termos de funções elementares, com a ordem de integração dada. Inverta a ordem de integração e faça os cálculos

a.

∫ 0 1 ∫ y 1 e x 2 d x d y

Passo 1

Oii, estamos agora embarcando no mundo das integrais. Como você muito bem sabe, uma interpretação geométrica de integrais é o cálculo de áreas. Assim os intervalos de integração nos dizem que região do Plano estamos. E olha que bacana! Não importa a ordem de integração o valor final SEMPRE tem que ser o mesmo. Assim podemos fazer um integral moleza se nós manipularmos quais variáveis vamos integrar primeiro, pense sempre em poupar esforço!

Passo 2

No nosso caso temos essa integração

∫ 0 1 ∫ y 1 e x 2 d x d y

Essa função e x 2 só pode ser resolvida pode series de potência, que é o escopo de cálculo 4. Ainda somos meros mortais em cálculo 2, então precisamos de uns truques para fugir dessas integrações mais bizarrinhas. Primeiro vamos descobrir a região de integração

Nossa região é a interseção entre as retas. Opa! Ficou confuso. Qual é a parte. De cima ou de baixo? Temos que lembrar que lemos x da esquerda para a direita. E y de cima para baixo. Assim x começa na reta x = y e termina na reta x = 1 . Com isso podemos afirmar que nossa região é

Com isso nossa nova ordem de integração pode ser

∫ 0 1 ∫ y 1 e x 2 d x d y = ∫ 0 1 ∫ 0 x e x 2 d y d x

Passo 3

Vamos integrar agora

∫ 0 1 ∫ 0 x e x 2 d y d x

= ∫ 0 1 x e x 2 d x

Essas integrais que têm exponencial podemos fazer por vários meios diferentes. Um que eu acho muito pratico é fazer o seguinte : pregar a exponencial e derivar e ver o que acontece

d d x   e x 2 = 2 x e x 2

Logo podemos ver que x e x 2 é uma derivada de e x 2 apenas ajustando um fator. Logo podemos dizer que

∫ 0 1 x e x 2 d x = e x 2 2 0 1

= 1 2 e - 1

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ 0 1 ∫ y 1 e x 2 d x d y = 1 2 e - 1  

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