Calcule f'(x) onde f(x) é igual a

(x + 1) / tg(x)

Passo 1

Para calcular essa derivada vamos usar algumas regras, de primeira dá pra perceber que vamos usar a regra da divisão:

h x g x ' = h ' x g x - h x g ' x g x 2

Temos que:

h x = x + 1

e

g x = tg ⁡ x

Vamos agora só montar na fórmula:

f ' x = x + 1 tg ⁡ x ' = x + 1 ' ⋅ tg ⁡ x - x + 1 ⋅ tg ⁡ x ' tg ⁡ x 2

Passo 2

Vamos usar a regra do polinômio, da função constante e da função trigonométrica:

x n ' = n x n - 1

c ' = 0

tg ⁡ x ' = sec 2 ⁡ x

Passo 3

Vamos calcular h ' ( x ) , usando a regra do polinômio e da função constante:

h ' x = x + 1 ' = x 1 - 1 + 0 = x 0 = 1

Com g ' ( x ) vamos usar a regra da função trigonométrica:

g ' x = tg ⁡ x ' = sec 2 ⁡ x

Passo 4

Agora é só substituir de volta na fórmula e pronto:

f ' x = x + 1 tg ⁡ x ' = x + 1 ' ⋅ tg ⁡ x - x + 1 ⋅ tg ⁡ x ' tg ⁡ x 2 = 1 ⋅ tg ⁡ x - x + 1 ⋅ sec 2 ⁡ x tg 2 ⁡ x = tg ⁡ x - x + 1 sec 2 ⁡ x tg 2 ⁡ x

Resposta

f ' ( x ) = tg ⁡ x - x + 1 sec 2 ⁡ x tg 2 ⁡ x

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