Calcule F'(x) onde F(x) é igual a

∛(x) + x / raiz(x)

Passo 1

Fala pessoal, nosso objetivo é calcular F ' x onde

F x = x 3 + x x

Para isso vamos usar a regra do quociente, que diz que

f x g x ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2

Passo 2

F x = x 3 + x x

Temos que:

f x = x 3 + x

e

g x = x

Vamos agora só montar na fórmula:

F ' x = x 3 + x x '

= x 3 + x ' ⋅ x - x 3 + x ⋅ x ' x 2

Agora vamos derivar!

Passo 3

Vamos calcular f ' ( x ) , usando a regra do polinômio:

x n ' = n x n - 1

Assim:

f ' x = x 3 + x '

= x 1 3 + x '

Aplicando,

f ' x = 1 3 ⋅ x 1 3 - 1 + x 1 - 1

f ' x = 1 3 ⋅ x 1 - 3 3 + x 0

= 1 3 ⋅ x - 2 3 + 1

Ajeitando,

f ' x = 1 3 x 2 3 + 1

Com g ' ( x ) , vamos usar a mesma regra:

g ' ( x ) = x '

= x 1 2 '

= 1 2 x 1 2 - 1

= 1 2 x

Passo 4

Agora é só substituir na expressão e pronto:

F ' x = x 3 + x x '

= 1 3 x 2 3 + 1 ⋅ x - x 3 + x ⋅ 1 2 x x

Ajeitando,

F ' x = x 3 x 2 3 + x - x 3 + x 2 x x

= 2 x + 6 x x 2 3 - 3 x 2 3 x 3 + x 6 x 2 3 x x

Podemos escrever como uma única divisão assim,

= 2 x + 6 x x 2 3 - 3 x 2 3 x 3 + x 6 x 2 3 x ⋅ 1 x

Ajeitando de novo,

= 2 x + 6 x x 2 3 - 3 x 3 3 - 3 x x 2 3 6 x x 2 3 x

= 2 x + 3 x x 2 3 - 3 x 6 x x 2 3 x

= - x + 3 x x 2 3 6 x x 2 3 x

Logo,

F ' x = - 1 + 3 x 2 3 6 x 2 3 x

Resposta

F ' x = - 1 + 3 x 2 3 6 x 2 3 x

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