Enunciado

Cada limite representa a derivada de certa função f em certo numero a .Diga o que são f e a em cada caso.

lim h → 0 ⁡ e - 2 + h - e - 2 h

Passo 1

Fala aí, gente bonita! Tudo certinho com vocês?

Essa questão pede pra analisarmos esse limite aqui:

lim h → 0 ⁡ e - 2 + h - e - 2 h

Mas calma lá! O enunciado não pede pra calcularmos o limite. Ele fala que o limite representa a derivada de uma certa função f em um certo ponto a . Nosso trabalho aqui é descobrir que função f e qual ponto a é esse.

Se ligar que pra fazer essa questão, vamos usar um “pulo do gato”!

Vamos lembrar dessa definição da derivada aqui:

l i m h → 0 f a + h - f a h

Percebeu que esse limite tem o mesmo jeitão do limite que a questão deu? Então vamos tentar comparar as duas expressões pra encontrar o que ele pede.

Vem com a gente!

Passo 2

Vamos colocar as duas expressões lado a lado pra conseguir enxergar melhor:

lim h → 0 ⁡ e - 2 + h - e - 2 h               ,                 l i m h → 0 f a + h - f a h

Beleza. Comparando visualmente, conseguimos ver que:

f a = e - 2

f a + h = e - 2 + h

A partir dessas observações, podemos chegar à conclusão que a função f que se encaixa nessas expressões é essa aqui:

f x = e x

E sabendo que f a = e - 2 , temos que:

a = - 2

Boa! Conseguimos descobrir o que a questão queria!

Resposta

a = - 2

f x = e x

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