Calcule f'(x) onde f(x) é igual a

(x^3 + raiz(x)) cosec(x)

Passo 1

Aqui vamos usar a regra do produto:

h x g x ' = h ' x g x + g ' x h x

Temos que:

h x = x 3 + x

e

g x = cos s ec ⁡ x

Assim:

f ' x = h ' x g x + g ' x h x = x 3 + x ' ⋅ cos s ec ⁡ x + co s sec ⁡ x ' ⋅ x 3 + x

Passo 2

Vamos usar a regra do polinômio e da função trigonométrica:

x n ' = n x n - 1

cossec ⁡ x ' = - cossec ⁡ x ⋅ cotg ⁡ x

Passo 3

Vamos calcular h ' ( x ) , usando a regra do polinômio:

h ' ( x ) = x 3 + x ' = x 3 + x 1 2 ' = 3 x 3 - 1 + 1 2 x 1 2 - 1 = 3 x 2 + 1 2 x - 1 2 = 3 x 2 + 1 2 x

Com g ' ( x ) vamos usar a regra da função trigonométrica:

g ' x = cossec ⁡ x ' = - cossec ⁡ x cotg ⁡ x

Passo 4

Agora é só substituir de volta na fórmula e pronto:

f ' x = h ' x g x + g ' x h x = x 3 + x ' ⋅ cossec ⁡ x + cossec ⁡ x ' ⋅ x 3 + x = 3 x 2 + 1 2 x ⋅ cossec ⁡ x + - cossec ⁡ x cotg ⁡ x ⋅ x 3 + x = 3 x 2 + 1 2 x ⋅ cossec ⁡ x - cossec ⁡ x cotg ⁡ x ⋅ x 3 + x

Resposta

f ' x = 3 x 2 + 1 2 x ⋅ cossec ⁡ x - cossec ⁡ x cotg ⁡ x ⋅ x 3 + x

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