Enunciado

Calcule a integral iterada.

int_0^(pi) int_0^1 int_0^(sqrt(1 - y^2)) y * s e n (x) d z d y d x

Passo 1

E aí meus queridxs, tudo bom com vocês? Pois bem, pra resolver essas integrais duplas devemos nos atentar para a ordem de integração. Para esse caso como temos ' d z d y d x ' vamos integrar primeiro em z depois em y e por fim em x , além disso, quando integrarmos em uma variável vamos considerar a outra como constante. Como assim?

Se liguem, se estivermos integrando em d x ( n a v a r i á v e l x ) vamos considerar as outras variáveis, no caso z e y , como constantes e poderemos calcular de igual maneira como fazíamos com uma integral simples.

Passo 2

Pois bem, tomemos a integral a ser resolvida que é

int_0^(pi) int_0^1 int_0^(sqrt(1 - y^2)) y * s e n (x) d z d y d x

E vamos resolvendo como se fossem integrais simples de ‘dentro pra fora’. Sendo assim, vamos encontrar

int_0^(sqrt(1 - y^2)) y * s e n (x) d z = [y z * s e n (x)]_0^(sqrt(1 - y^2)) = y * (sqrt(1 - y^2)) * sin (x)

Agora, ficaremos com a seguinte integral dupla a ser resolvida

int_0^(pi) int_0^1 y * (sqrt(1 - y^2)) * sin (x) d y d x

Procedendo de igual forma com a integral mais interna vamos ter

int_0^1 y * (sqrt(1 - y^2)) * sin (x) d y =

Utilizando uma substituição simples teremos

u = 1 - y^2 -> (d u)/(d y) = - 2 y -> (d u)/(- 2) = y d y

Para os limites de integração nós teremos se y = 0 -> u = 1 , agora, se y = 1 -> u = 0 . Então nossa integral pode ser reescrita como

int_1^0 sqrt(u) * sin (x) (d u)/(- 2) = (1)/(2) * int_0^1 sqrt(u) * sin (x) d u = (1)/(2) * [(2 u^((3)/(2)))/(3) * sin (x)]_0^1 = (1)/(2) * ((2)/(3) * sin (x)) = (sin (x))/(3)

Por fim, teremos a integral simples a ser resolvida

int_0^(pi) (sin (x))/(3) d x = [- (cos (x))/(3)]_0^(pi) = (2)/(3)

Pronto, tá resolvida nossa questão sem muitos problemas.

Resposta

(2)/(3)

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