4. Calcule ∫ 1 ∞ 1 x α d x , onde alpha é um numero real.

Passo 1

Quando vamos calcular essa integrai imprópria, precisamos dividir em 3 casos diferentes:Caso 1: α = 1 .

É muito natural considerar esse caso, pois sabemos que ∫ 1 x d x = ln ⁡ x + c . Agora vamos usar a definição para calcular a integral imprópria: ∫ 1 ∞ 1 x d x = lim b → ∞ ⁡ ∫ 1 b 1 x d x = lim b → ∞ ⁡ ( ln ⁡ b ) - ln ⁡ 1 = ∞ - 0 = ∞

Portanto, para α = 1 , essa integral imprópria diverge.

Caso 2 α > 1 .

Outro caso que também é natural, pois sabemos que ∫ 1 x α d x = ∫ x - α d x = x - α + 1 - α + 1 + c . Agora ∫ 1 ∞ 1 x α d x = lim b → ∞ ⁡ ∫ 1 b 1 x α d x = lim b → ∞ ⁡ ( b - α + 1 - α + 1 ) + 1 - α + 1 - α + 1

Como α > 1 , temos que - α - 1 < 0 , desta forma temos que lim b → ∞ ⁡ ( b - α + 1 - α + 1 ) = 0 . Então lim b → ∞ ⁡ ∫ 1 b 1 x α d x = lim b → ∞ ⁡ ( b - α + 1 - α + 1 ) + 1 - α + 1 - α + 1 = 1 - α + 1 Portando, para α > 1 , essa integral imprópria converge para 1 - α + 1 .

Caso 3 α > 1 .

Esse caso é completamente análogo ao anterior, porém, como α > 1 , temos que

- α - 1 > 0 , desta forma temos que lim b → ∞ ⁡ ( b - α + 1 - α + 1 ) = ∞ . Então lim b → ∞ ⁡ ∫ 1 b 1 x α d x = lim b → ∞ ⁡ ( b - α + 1 - α + 1 ) + 1 - α + 1 - α + 1 = ∞ Portando, para α > 1 , essa integral imprópria diverge.

Resposta

1 - α + 1 ,   s e   α < 1

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