Enunciado

Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique.

f x , y = x y x 2 + y 2 s e   x , y ≠ 0,0 0 s e   x , y = ( 0,0 )

Passo 1

Sabemos que se uma função for diferenciável, ela é continua, então a primeira coisa que vamos verificar é a continuidade da função.

Para valores de   x , y ≠ 0,0 , a função é bem definida e contínua, já neste ponto precisamos verificar. Calculando o limite

lim x , y → 0,0 ⁡ x y x 2 + y 2

Usando o caminho x = t ,   y = t ,   t → 0

lim x , y → 0,0 ⁡ x y x 2 + y 2 = lim t → 0 ⁡ t 2 2 t 2

= 1 2 ≠ f 0,0

O valor da função no ponto é definido e f 0,0 = 0 , encontramos que por um dos caminhos, o limite de f é diferente, o limite pode ou não existir, mas já temos informações suficientes para afirmar que f não é contínua em 0,0 .

Já que f não é contínua na origem, nesse ponto a função não é diferenciável, para os outros pontos precisamos testar as derivadas parciais.

Passo 2

Calculando as derivadas parciais, primeiro em x

f x = y x 2 + y 2 - x y 2 x x 2 + y 2 2 = y x 2 + y 3 - 2 x 2 y x 2 + y 2 2

f x = y 3 - x 2 y x 2 + y 2 2

Como a função é simétrica em relação às variáveis

f y = x 3 - x y 2 x 2 + y 2 2

Podemos verificar que as derivadas são bem definidas para pontos diferentes de 0,0 , e como já sabemos que nesse ponto a função não é diferenciável, não precisamos verificar sobre as derivadas.

Temos então que f é diferenciável em todos os valores de R 2 - 0,0 .

Resposta

L o g o ,   a s   d e r i v a d a s   p a r c i a i s   e x i s t e m   e m   t o d o s   o s   p o n t o s   e x c e t o   n a   o r i g e m .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcular a diferencial da função dada no ponto indicado w = x . e 2 z + y; P 1,2 , 0
Calcular a diferencial da função dada f x , y , z = e x y z - x y
Encontrar um valor aproximado para a seguinte expressão : 3,99 2 + 4,01 2
Calcular a diferencial da função dada f x 1 , x 2 , x 3 = x 1 + x 2 + x 3 x 1 2 + x 2 2 + x 3 2
Calcular a diferencial da função dada no ponto indicado f x , y = e x c o s y; P 1 , π 4