Enunciado

Determine o plano que passa pelos pontos 1,1 , 2 e - 1,1 , 1 e que seja tangente ao gráfico de f x , y = x y .

Passo 1

Para ser tangente ao gráfico de f , tem que estar na fórmula

z - f x 0 , y 0 = f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y ( x 0 , y 0 ) ( y - y 0 )

Onde ( x 0 , y 0 ) são as coordenadas do ponto onde o plano tangencia a função. Calculando as derivadas

f x = y

f y = x

Calculando os valores das derivadas e da função no ponto ( x 0 , y 0 )

f x x 0 , y 0 = y 0

f y x 0 , y 0 = x 0

f x 0 , y 0 = x 0 y 0

Portanto, temos o plano

z - x 0 y 0 = y 0 x - x 0 + x 0 ( y - y 0 )

z - x 0 y 0 = y 0 x - x 0 y 0 + x 0 y - x 0 y 0

z = y 0 x + x 0 y - x 0 y 0

Passo 2

Usamos agora os pontos dados para encontrar o ponto ( x 0 , y 0 ) .

Jogando o ponto 1,1 , 2 na equação do plano

2 = y 0 + x 0 - x 0 y 0

E - 1,1 , 1

1 = - y 0 + x 0 - x 0 y 0

Subtraindo a primeira pela segunda equação

1 = 2 y 0

y 0 = 1 2

Substituindo na segunda equação

1 = - 1 2 + x 0 - x 0 2

x 0 2 = 3 2

x 0 = 3

E temos a equação do plano, substituindo x 0 e y 0

z = x 2 + 3 y - 3 2

Resposta

z = x 2 + 3 y - 3 2

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